Страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите уравнение (503–505).

503 а) $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(x+1)^2}{2} = 2;$

Б) $\frac{(x-3)^2}{3} + 3 = \frac{(x-2)^2}{2};$

В) $(x-2)^2 - \frac{(x-3)^2}{3} = 1;$

Г) $\frac{(x+4)^2}{2} - \frac{1}{3} = (x+2)^2.$

а) $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(x+1)^2}{2} = 2$

Для решения уравнения приведем все слагаемые к общему знаменателю 4, для этого умножим обе части уравнения на 4:

$4 \cdot \frac{(x-2)^2}{4} + 4 \cdot \frac{(x+1)^2}{2} = 4 \cdot 2$

$(x-2)^2 + 2(x+1)^2 = 8$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) + 2(x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) = 8$

$(x^2 - 4x + 4) + 2(x^2 + 2x + 1) = 8$

$x^2 - 4x + 4 + 2x^2 + 4x + 2 = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2) + (-4x + 4x) + (4 + 2) = 8$

$3x^2 + 6 = 8$

Перенесем 6 в правую часть уравнения:

$3x^2 = 8 - 6$

$3x^2 = 2$

$x^2 = \frac{2}{3}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $x_1 = -\frac{\sqrt{6}}{3}, x_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

б) $\frac{(x-3)^2}{3} + 3 = \frac{(x-2)^2}{2}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 6, умножив обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{(x-3)^2}{3} + 6 \cdot 3 = 6 \cdot \frac{(x-2)^2}{2}$

$2(x-3)^2 + 18 = 3(x-2)^2$

Раскроем скобки:

$2(x^2 - 6x + 9) + 18 = 3(x^2 - 4x + 4)$

$2x^2 - 12x + 18 + 18 = 3x^2 - 12x + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 12x + 36 = 3x^2 - 12x + 12$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

$3x^2 - 2x^2 - 12x + 12x + 12 - 36 = 0$

$x^2 - 24 = 0$

$x^2 = 24$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{24} = \pm\sqrt{4 \cdot 6} = \pm 2\sqrt{6}$

Ответ: $x_1 = -2\sqrt{6}, x_2 = 2\sqrt{6}$.

в) $(x-2)^2 - \frac{(x-3)^2}{3} = 1$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$3(x-2)^2 - (x-3)^2 = 3$

Раскроем скобки:

$3(x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 6x + 9) = 3$

$3x^2 - 12x + 12 - x^2 + 6x - 9 = 3$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - x^2) + (-12x + 6x) + (12 - 9) = 3$

$2x^2 - 6x + 3 = 3$

Перенесем 3 в левую часть:

$2x^2 - 6x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$2x = 0$ или $x - 3 = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 3$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 3$.

г) $\frac{(x+4)^2}{2} - \frac{1}{3} = (x+2)^2$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 6, умножив обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{(x+4)^2}{2} - 6 \cdot \frac{1}{3} = 6 \cdot (x+2)^2$

$3(x+4)^2 - 2 = 6(x+2)^2$

Раскроем скобки:

$3(x^2 + 8x + 16) - 2 = 6(x^2 + 4x + 4)$

$3x^2 + 24x + 48 - 2 = 6x^2 + 24x + 24$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 24x + 46 = 6x^2 + 24x + 24$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

$6x^2 - 3x^2 + 24x - 24x + 24 - 46 = 0$

$3x^2 - 22 = 0$

$3x^2 = 22$

$x^2 = \frac{22}{3}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\frac{22}{3}} = \pm\frac{\sqrt{22}\sqrt{3}}{3} = \pm\frac{\sqrt{66}}{3}$

Ответ: $x_1 = -\frac{\sqrt{66}}{3}, x_2 = \frac{\sqrt{66}}{3}$.

504 a) $(2x + 1)^2 = 2x + 1;$

Б) $(y - 2)^2 - 4 = 0;$

В) $(3x - 1)^2 = 2(3x - 1);$

Г) $9 - (2x - 3)^2 = 0.$

а) $(2x + 1)^2 = 2x + 1$

Для решения данного уравнения перенесем все его члены в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$(2x + 1)^2 - (2x + 1) = 0$

Теперь можно вынести общий множитель $(2x + 1)$ за скобки:

$(2x + 1) \cdot ((2x + 1) - 1) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(2x + 1) \cdot (2x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1) $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_1 = -0.5$

2) $2x = 0 \implies x_2 = 0$

Ответ: $-0.5; 0$.

б) $(y - 2)^2 - 4 = 0$

Это уравнение можно представить в виде разности квадратов, так как $4$ это $2^2$:

$(y - 2)^2 - 2^2 = 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = y - 2$ и $b = 2$:

$((y - 2) - 2) \cdot ((y - 2) + 2) = 0$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(y - 4) \cdot y = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $y - 4 = 0 \implies y_1 = 4$

2) $y_2 = 0$

Ответ: $0; 4$.

В) $(3x - 1)^2 = 2(3x - 1)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(3x - 1)^2 - 2(3x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(3x - 1)$ за скобки:

$(3x - 1) \cdot ((3x - 1) - 2) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(3x - 1)(3x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{3}$

2) $3x - 3 = 0 \implies 3x = 3 \implies x_2 = 1$

Ответ: $\frac{1}{3}; 1$.

Г) $9 - (2x - 3)^2 = 0$

Данное уравнение является разностью квадратов, поскольку $9 = 3^2$. Перепишем его в следующем виде:

$3^2 - (2x - 3)^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3$ и $b = 2x - 3$:

$(3 - (2x - 3)) \cdot (3 + (2x - 3)) = 0$

Раскроем внутренние скобки и упростим полученные выражения:

$(3 - 2x + 3) \cdot (3 + 2x - 3) = 0$

$(6 - 2x) \cdot (2x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $6 - 2x = 0 \implies 2x = 6 \implies x_1 = 3$

2) $2x = 0 \implies x_2 = 0$

Ответ: $0; 3$.

505 a) $(x^2 - 1)^3 + 2(x^2 - 1)^2 = 0;$

б) $x^2(x - 1) - 3x(x - 1) = 0;$

В) $x^2(x^2 - 3)^2 - 4(x^2 - 3) = 0;$

Г) $x^2(x - 5)^2 - 5(x - 5)^2 = 0.$

а) $(x^2 - 1)^3 + 2(x^2 - 1)^2 = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)^2$ за скобки:
$(x^2 - 1)^2 ((x^2 - 1) + 2) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x^2 - 1)^2 (x^2 + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Разобьем на два уравнения:
1) $(x^2 - 1)^2 = 0$
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1, x_2 = -1$
2) $x^2 + 1 = 0$
$x^2 = -1$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: $x = -1, x = 1$.

б) $x^2(x - 1) - 3x(x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $x(x - 1)$ за скобки:
$x(x - 1)(x - 3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x = 0$
2) $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
3) $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
Ответ: $x = 0, x = 1, x = 3$.

в) $x^2(x^2 - 3)^2 - 4(x^2 - 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 3)$ за скобки:
$(x^2 - 3)(x^2(x^2 - 3) - 4) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x^2 - 3)(x^4 - 3x^2 - 4) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x^2 - 3 = 0$
$x^2 = 3$
$x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$
2) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$
Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 3t - 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Вернемся к переменной $x$ для $t_1 = 4$:
$x^2 = 4$
$x_3 = 2, x_4 = -2$
Ответ: $x = -2, x = 2, x = -\sqrt{3}, x = \sqrt{3}$.

г) $x^2(x - 5)^2 - 5(x - 5)^2 = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 5)^2$ за скобки:
$(x - 5)^2 (x^2 - 5) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $(x - 5)^2 = 0$
$x - 5 = 0$
$x = 5$
2) $x^2 - 5 = 0$
$x^2 = 5$
$x_1 = \sqrt{5}, x_2 = -\sqrt{5}$
Ответ: $x = 5, x = \sqrt{5}, x = -\sqrt{5}$.

506 Составьте неполное квадратное уравнение, имеющее корни:

а) 0 и 3;

б) $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$;

в) -8 и 8;

г) 0 и $\sqrt{2}$.

Общий способ составить квадратное уравнение по его корням $x_1$ и $x_2$ — это использовать формулу $a(x-x_1)(x-x_2)=0$, где $a$ — любой ненулевой коэффициент. Для простоты примем $a=1$.

а) Даны корни $x_1=0$ и $x_2=3$.
Составим уравнение, используя формулу $(x-x_1)(x-x_2)=0$:
$(x-0)(x-3)=0$
$x(x-3)=0$
Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид:
$x^2 - 3x = 0$
Это неполное квадратное уравнение, так как свободный член $c=0$.
Ответ: $x^2 - 3x = 0$

б) Даны корни $x_1=-\sqrt{2}$ и $x_2=\sqrt{2}$.
Составим уравнение:
$(x - (-\sqrt{2}))(x - \sqrt{2})=0$
$(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})=0$
Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$x^2 - (\sqrt{2})^2 = 0$
$x^2 - 2 = 0$
Это неполное квадратное уравнение, так как коэффициент при $x$ равен нулю ($b=0$).
Ответ: $x^2 - 2 = 0$

в) Даны корни $x_1=-8$ и $x_2=8$.
Составим уравнение:
$(x - (-8))(x - 8)=0$
$(x + 8)(x - 8)=0$
Снова используем формулу разности квадратов:
$x^2 - 8^2 = 0$
$x^2 - 64 = 0$
Это неполное квадратное уравнение, так как коэффициент $b=0$.
Ответ: $x^2 - 64 = 0$

г) Даны корни $x_1=0$ и $x_2=\sqrt{2}$.
Составим уравнение:
$(x-0)(x-\sqrt{2})=0$
$x(x-\sqrt{2})=0$
Раскроем скобки:
$x^2 - \sqrt{2}x = 0$
Это неполное квадратное уравнение, так как свободный член $c=0$.
Ответ: $x^2 - \sqrt{2}x = 0$

507 Решите неполное квадратное уравнение:

а) $ax^2 + ax = 0$;

б) $ax^2 - x = 0$.

а)

Рассмотрим уравнение $ax^2 + ax = 0$.

Это неполное квадратное уравнение, в котором свободный член равен нулю. Решение зависит от значения параметра $a$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x = 0$, что упрощается до $0 = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$. Следовательно, в этом случае решением является любое действительное число.

2. Если $a \neq 0$, то уравнение является квадратным. Для его решения вынесем общий множитель $ax$ за скобки:

$ax(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:

$ax = 0$ или $x + 1 = 0$

Решим каждое из этих уравнений:

Из $ax = 0$, так как мы рассматриваем случай $a \neq 0$, следует, что $x_1 = 0$.

Из $x + 1 = 0$ следует, что $x_2 = -1$.

Таким образом, при $a \neq 0$ уравнение имеет два корня: 0 и -1.

Ответ: если $a = 0$, то $x$ — любое число; если $a \neq 0$, то $x_1 = 0, x_2 = -1$.

б)

Рассмотрим уравнение $ax^2 - x = 0$.

Это также неполное квадратное уравнение. Его решение тоже зависит от параметра $a$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 - x = 0$, что упрощается до $-x = 0$. Отсюда следует, что $x = 0$. В этом случае уравнение имеет единственный корень.

2. Если $a \neq 0$, то уравнение является квадратным. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(ax - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

$x = 0$ или $ax - 1 = 0$

Первый корень уже найден: $x_1 = 0$.

Решим второе уравнение:

$ax = 1$

Так как мы рассматриваем случай $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x_2 = \frac{1}{a}$

Таким образом, при $a \neq 0$ уравнение имеет два корня: 0 и $\frac{1}{a}$.

Ответ: если $a = 0$, то $x = 0$; если $a \neq 0$, то $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{a}$.

АНАЛИЗИРУЕМ (508–509)

508 Имеет ли решение неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$, если:

а) $a > 0, c > 0;$

б) $a > 0, c < 0;$

в) $a < 0, c > 0;$

г) $a < 0, c < 0?$

Для того чтобы определить, имеет ли решение неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$, необходимо проанализировать знаки коэффициентов $a$ и $c$. Выразим $x^2$ из уравнения:

$ax^2 = -c$

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Уравнение будет иметь действительные решения (корни) только в том случае, если выражение в правой части, то есть $-\frac{c}{a}$, является неотрицательным. Это означает, что должно выполняться условие $-\frac{c}{a} \ge 0$, что эквивалентно условию $\frac{c}{a} \le 0$. Это неравенство справедливо, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют противоположные знаки (или когда $c=0$, но в условиях задачи $c$ строго больше или меньше нуля). Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $a > 0, c > 0$

В этом случае оба коэффициента $a$ и $c$ положительны. Их отношение $\frac{c}{a}$ также будет положительным. Следовательно, выражение $-\frac{c}{a}$ будет отрицательным. Уравнение $x^2 = \text{отрицательное число}$ не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: нет, не имеет.

б) $a > 0, c < 0$

Здесь коэффициент $a$ положителен, а $c$ — отрицателен. Коэффициенты имеют разные знаки. Их отношение $\frac{c}{a}$ будет отрицательным. Тогда выражение $-\frac{c}{a}$ будет положительным. Уравнение $x^2 = \text{положительное число}$ имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt{-\frac{c}{a}}$ и $x_2 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Ответ: да, имеет.

в) $a < 0, c > 0$

В этом случае коэффициент $a$ отрицателен, а $c$ — положителен. Коэффициенты имеют разные знаки. Их отношение $\frac{c}{a}$ будет отрицательным. Следовательно, выражение $-\frac{c}{a}$ будет положительным. Уравнение $x^2 = \text{положительное число}$ будет иметь два действительных корня.

Ответ: да, имеет.

г) $a < 0, c < 0$

Здесь оба коэффициента $a$ и $c$ отрицательны. Коэффициенты имеют одинаковые знаки. Их отношение $\frac{c}{a}$ будет положительным (частное двух отрицательных чисел). Тогда выражение $-\frac{c}{a}$ будет отрицательным. Уравнение $x^2 = \text{отрицательное число}$ не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.

509 Один из корней неполного квадратного уравнения $ax^2 + bx = 0$ равен 0. Определите знак другого корня, если:

а) $a > 0, b > 0;$

б) $a > 0, b < 0;$

в) $a < 0, b > 0;$

г) $a < 0, b < 0.$

Каждый случай проиллюстрируйте конкретным примером.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для нахождения его корней вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(ax + b) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

или

$ax + b = 0$, что равносильно $ax = -b$, и, поскольку $a \ne 0$ (иначе уравнение не было бы квадратным), $x_2 = -b/a$.

Таким образом, один корень всегда равен 0, а знак второго корня $x_2$ зависит от знаков коэффициентов $a$ и $b$.

а) Дано: $a > 0$, $b > 0$.
В этом случае коэффициенты $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (оба положительные). Их частное $b/a$ будет положительным числом. Тогда второй корень $x_2 = -b/a$ будет отрицательным, так как перед положительной дробью стоит знак минус.
Пример: Пусть $a = 2$, $b = 6$. Уравнение: $2x^2 + 6x = 0$.
$2x(x + 3) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$. Второй корень отрицательный.
Ответ: второй корень отрицательный.

б) Дано: $a > 0$, $b < 0$.
В этом случае коэффициенты $a$ и $b$ имеют разные знаки. Их частное $b/a$ будет отрицательным числом. Тогда второй корень $x_2 = -b/a$ будет положительным, так как $x_2 = -(\text{отрицательное число})$.
Пример: Пусть $a = 3$, $b = -12$. Уравнение: $3x^2 - 12x = 0$.
$3x(x - 4) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Второй корень положительный.
Ответ: второй корень положительный.

в) Дано: $a < 0$, $b > 0$.
В этом случае коэффициенты $a$ и $b$ также имеют разные знаки. Их частное $b/a$ будет отрицательным числом. Тогда второй корень $x_2 = -b/a$ будет положительным, так как $x_2 = -(\text{отрицательное число})$.
Пример: Пусть $a = -1$, $b = 5$. Уравнение: $-x^2 + 5x = 0$.
$-x(x - 5) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$. Второй корень положительный.
Ответ: второй корень положительный.

г) Дано: $a < 0$, $b < 0$.
В этом случае коэффициенты $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (оба отрицательные). Их частное $b/a$ будет положительным числом. Тогда второй корень $x_2 = -b/a$ будет отрицательным, так как перед положительной дробью стоит знак минус.
Пример: Пусть $a = -4$, $b = -8$. Уравнение: $-4x^2 - 8x = 0$.
$-4x(x + 2) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$. Второй корень отрицательный.
Ответ: второй корень отрицательный.

510 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ При решении задачи из п. 3.4 было составлено уравнение $(39 - 2x)(24 - 2x) = 700$, которое при решении свелось к полному квадратному уравнению с большими коэффициентами. Однако его можно свести и к неполному квадратному уравнению с помощью замены $y = 4 - 2x$. Действительно, эта замена приведёт к тому, что «уничтожится» число 700 — правая часть уравнения:

$(39 - 2x)(24 - 2x) = (35 + (4 - 2x))(20 + (4 - 2x))$

$= (35 + y)(20 + y).$

Получаем

$(y + 35)(y + 20) = 700,$

$y^2 + 55y + 700 = 700,$

$y^2 + 55y = 0.$

Решите уравнение, используя замену, приводящую к неполному квадратному уравнению:

а) $(9 - 3x)(46 - 3x) = 120;$

б) $(5x - 63)(5x - 18) = 550.$

а) $(9 - 3x)(46 - 3x) = 120$

Для решения этого уравнения применим метод замены переменной, который позволит свести его к неполному квадратному уравнению. Идея состоит в том, чтобы найти такую замену $y = k - 3x$, чтобы при подстановке в уравнение свободные члены сократились.

Пусть замена имеет вид $y = k - 3x$. Выразим множители из исходного уравнения через $y$:

$9 - 3x = (9 - k) + (k - 3x) = y + 9 - k$

$46 - 3x = (46 - k) + (k - 3x) = y + 46 - k$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(y + 9 - k)(y + 46 - k) = 120$

Раскроем скобки в левой части:

$y^2 + (46 - k)y + (9 - k)y + (9 - k)(46 - k) = 120$

$y^2 + (55 - 2k)y + (9 - k)(46 - k) = 120$

Чтобы уравнение стало неполным квадратным вида $ay^2 + by = 0$, необходимо, чтобы свободный член в левой части был равен свободному члену в правой части, то есть $(9 - k)(46 - k) = 120$. Решим это уравнение относительно $k$:

$414 - 9k - 46k + k^2 = 120$

$k^2 - 55k + 414 - 120 = 0$

$k^2 - 55k + 294 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 294 = 3025 - 1176 = 1849 = 43^2$.

Найдем корни для $k$:

$k_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 + 43}{2} = \frac{98}{2} = 49$

$k_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 - 43}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Можно использовать любое из найденных значений $k$. Выберем $k = 6$. Тогда наша замена: $y = 6 - 3x$.

Подставим $k=6$ в преобразованное уравнение для $y$:

$y^2 + (55 - 2 \cdot 6)y = 0$

$y^2 + 43y = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$y(y + 43) = 0$

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -43$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. При $y_1 = 0$: $6 - 3x = 0 \implies 3x = 6 \implies x_1 = 2$.

2. При $y_2 = -43$: $6 - 3x = -43 \implies 3x = 6 + 43 \implies 3x = 49 \implies x_2 = \frac{49}{3}$.

Ответ: $2; \frac{49}{3}$.

б) $(5x - 63)(5x - 18) = 550$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Ищем замену вида $y = 5x - k$.

Выразим множители через $y$:

$5x - 63 = (5x - k) - 63 + k = y + k - 63$

$5x - 18 = (5x - k) - 18 + k = y + k - 18$

Подставим в исходное уравнение:

$(y + k - 63)(y + k - 18) = 550$

Раскроем скобки: $y^2 + (k - 18)y + (k - 63)y + (k - 63)(k - 18) = 550$

$y^2 + (2k - 81)y + (k - 63)(k - 18) = 550$

Чтобы получить неполное квадратное уравнение, приравняем свободные члены: $(k - 63)(k - 18) = 550$. Решим это уравнение относительно $k$:

$k^2 - 18k - 63k + 1134 = 550$

$k^2 - 81k + 1134 - 550 = 0$

$k^2 - 81k + 584 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-81)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 584 = 6561 - 2336 = 4225 = 65^2$.

Найдем корни для $k$:

$k_1 = \frac{81 + 65}{2} = \frac{146}{2} = 73$

$k_2 = \frac{81 - 65}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Выберем меньшее значение $k = 8$. Тогда замена будет $y = 5x - 8$.

Подставим $k=8$ в уравнение для $y$:

$y^2 + (2 \cdot 8 - 81)y = 0$

$y^2 - 65y = 0$

Решим это уравнение:

$y(y - 65) = 0$

Получаем два значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = 65$.

Выполним обратную замену для нахождения $x$:

1. При $y_1 = 0$: $5x - 8 = 0 \implies 5x = 8 \implies x_1 = \frac{8}{5}$.

2. При $y_2 = 65$: $5x - 8 = 65 \implies 5x = 73 \implies x_2 = \frac{73}{5}$.

Ответ: $\frac{8}{5}; \frac{73}{5}$.