Номер 508, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 508, страница 145.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ (508–509)

508 Имеет ли решение неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$, если:

а) $a > 0, c > 0;$

б) $a > 0, c < 0;$

в) $a < 0, c > 0;$

г) $a < 0, c < 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы определить, имеет ли решение неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$, необходимо проанализировать знаки коэффициентов $a$ и $c$. Выразим $x^2$ из уравнения:

$ax^2 = -c$

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Уравнение будет иметь действительные решения (корни) только в том случае, если выражение в правой части, то есть $-\frac{c}{a}$, является неотрицательным. Это означает, что должно выполняться условие $-\frac{c}{a} \ge 0$, что эквивалентно условию $\frac{c}{a} \le 0$. Это неравенство справедливо, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют противоположные знаки (или когда $c=0$, но в условиях задачи $c$ строго больше или меньше нуля). Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $a > 0, c > 0$

В этом случае оба коэффициента $a$ и $c$ положительны. Их отношение $\frac{c}{a}$ также будет положительным. Следовательно, выражение $-\frac{c}{a}$ будет отрицательным. Уравнение $x^2 = \text{отрицательное число}$ не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: нет, не имеет.

б) $a > 0, c < 0$

Здесь коэффициент $a$ положителен, а $c$ — отрицателен. Коэффициенты имеют разные знаки. Их отношение $\frac{c}{a}$ будет отрицательным. Тогда выражение $-\frac{c}{a}$ будет положительным. Уравнение $x^2 = \text{положительное число}$ имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt{-\frac{c}{a}}$ и $x_2 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Ответ: да, имеет.

в) $a < 0, c > 0$

В этом случае коэффициент $a$ отрицателен, а $c$ — положителен. Коэффициенты имеют разные знаки. Их отношение $\frac{c}{a}$ будет отрицательным. Следовательно, выражение $-\frac{c}{a}$ будет положительным. Уравнение $x^2 = \text{положительное число}$ будет иметь два действительных корня.

Ответ: да, имеет.

г) $a < 0, c < 0$

Здесь оба коэффициента $a$ и $c$ отрицательны. Коэффициенты имеют одинаковые знаки. Их отношение $\frac{c}{a}$ будет положительным (частное двух отрицательных чисел). Тогда выражение $-\frac{c}{a}$ будет отрицательным. Уравнение $x^2 = \text{отрицательное число}$ не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.