Номер 509, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 509, страница 145.

Условие.

509 Один из корней неполного квадратного уравнения $ax^2 + bx = 0$ равен 0. Определите знак другого корня, если:

а) $a > 0, b > 0;$

б) $a > 0, b < 0;$

в) $a < 0, b > 0;$

г) $a < 0, b < 0.$

Каждый случай проиллюстрируйте конкретным примером.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для нахождения его корней вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(ax + b) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

или

$ax + b = 0$, что равносильно $ax = -b$, и, поскольку $a \ne 0$ (иначе уравнение не было бы квадратным), $x_2 = -b/a$.

Таким образом, один корень всегда равен 0, а знак второго корня $x_2$ зависит от знаков коэффициентов $a$ и $b$.

а) Дано: $a > 0$, $b > 0$.
В этом случае коэффициенты $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (оба положительные). Их частное $b/a$ будет положительным числом. Тогда второй корень $x_2 = -b/a$ будет отрицательным, так как перед положительной дробью стоит знак минус.
Пример: Пусть $a = 2$, $b = 6$. Уравнение: $2x^2 + 6x = 0$.
$2x(x + 3) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$. Второй корень отрицательный.
Ответ: второй корень отрицательный.

б) Дано: $a > 0$, $b < 0$.
В этом случае коэффициенты $a$ и $b$ имеют разные знаки. Их частное $b/a$ будет отрицательным числом. Тогда второй корень $x_2 = -b/a$ будет положительным, так как $x_2 = -(\text{отрицательное число})$.
Пример: Пусть $a = 3$, $b = -12$. Уравнение: $3x^2 - 12x = 0$.
$3x(x - 4) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Второй корень положительный.
Ответ: второй корень положительный.

в) Дано: $a < 0$, $b > 0$.
В этом случае коэффициенты $a$ и $b$ также имеют разные знаки. Их частное $b/a$ будет отрицательным числом. Тогда второй корень $x_2 = -b/a$ будет положительным, так как $x_2 = -(\text{отрицательное число})$.
Пример: Пусть $a = -1$, $b = 5$. Уравнение: $-x^2 + 5x = 0$.
$-x(x - 5) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$. Второй корень положительный.
Ответ: второй корень положительный.

г) Дано: $a < 0$, $b < 0$.
В этом случае коэффициенты $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (оба отрицательные). Их частное $b/a$ будет положительным числом. Тогда второй корень $x_2 = -b/a$ будет отрицательным, так как перед положительной дробью стоит знак минус.
Пример: Пусть $a = -4$, $b = -8$. Уравнение: $-4x^2 - 8x = 0$.
$-4x(x + 2) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$. Второй корень отрицательный.
Ответ: второй корень отрицательный.