Номер 507, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 507, страница 145.

Условие.

507 Решите неполное квадратное уравнение:

а) $ax^2 + ax = 0$;

б) $ax^2 - x = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим уравнение $ax^2 + ax = 0$.

Это неполное квадратное уравнение, в котором свободный член равен нулю. Решение зависит от значения параметра $a$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x = 0$, что упрощается до $0 = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$. Следовательно, в этом случае решением является любое действительное число.

2. Если $a \neq 0$, то уравнение является квадратным. Для его решения вынесем общий множитель $ax$ за скобки:

$ax(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:

$ax = 0$ или $x + 1 = 0$

Решим каждое из этих уравнений:

Из $ax = 0$, так как мы рассматриваем случай $a \neq 0$, следует, что $x_1 = 0$.

Из $x + 1 = 0$ следует, что $x_2 = -1$.

Таким образом, при $a \neq 0$ уравнение имеет два корня: 0 и -1.

Ответ: если $a = 0$, то $x$ — любое число; если $a \neq 0$, то $x_1 = 0, x_2 = -1$.

б)

Рассмотрим уравнение $ax^2 - x = 0$.

Это также неполное квадратное уравнение. Его решение тоже зависит от параметра $a$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 - x = 0$, что упрощается до $-x = 0$. Отсюда следует, что $x = 0$. В этом случае уравнение имеет единственный корень.

2. Если $a \neq 0$, то уравнение является квадратным. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(ax - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

$x = 0$ или $ax - 1 = 0$

Первый корень уже найден: $x_1 = 0$.

Решим второе уравнение:

$ax = 1$

Так как мы рассматриваем случай $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x_2 = \frac{1}{a}$

Таким образом, при $a \neq 0$ уравнение имеет два корня: 0 и $\frac{1}{a}$.

Ответ: если $a = 0$, то $x = 0$; если $a \neq 0$, то $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{a}$.