Номер 510, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 510, страница 145.

Условие.

510 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ При решении задачи из п. 3.4 было составлено уравнение $(39 - 2x)(24 - 2x) = 700$, которое при решении свелось к полному квадратному уравнению с большими коэффициентами. Однако его можно свести и к неполному квадратному уравнению с помощью замены $y = 4 - 2x$. Действительно, эта замена приведёт к тому, что «уничтожится» число 700 — правая часть уравнения:

$(39 - 2x)(24 - 2x) = (35 + (4 - 2x))(20 + (4 - 2x))$

$= (35 + y)(20 + y).$

Получаем

$(y + 35)(y + 20) = 700,$

$y^2 + 55y + 700 = 700,$

$y^2 + 55y = 0.$

Решите уравнение, используя замену, приводящую к неполному квадратному уравнению:

а) $(9 - 3x)(46 - 3x) = 120;$

б) $(5x - 63)(5x - 18) = 550.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(9 - 3x)(46 - 3x) = 120$

Для решения этого уравнения применим метод замены переменной, который позволит свести его к неполному квадратному уравнению. Идея состоит в том, чтобы найти такую замену $y = k - 3x$, чтобы при подстановке в уравнение свободные члены сократились.

Пусть замена имеет вид $y = k - 3x$. Выразим множители из исходного уравнения через $y$:

$9 - 3x = (9 - k) + (k - 3x) = y + 9 - k$

$46 - 3x = (46 - k) + (k - 3x) = y + 46 - k$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(y + 9 - k)(y + 46 - k) = 120$

Раскроем скобки в левой части:

$y^2 + (46 - k)y + (9 - k)y + (9 - k)(46 - k) = 120$

$y^2 + (55 - 2k)y + (9 - k)(46 - k) = 120$

Чтобы уравнение стало неполным квадратным вида $ay^2 + by = 0$, необходимо, чтобы свободный член в левой части был равен свободному члену в правой части, то есть $(9 - k)(46 - k) = 120$. Решим это уравнение относительно $k$:

$414 - 9k - 46k + k^2 = 120$

$k^2 - 55k + 414 - 120 = 0$

$k^2 - 55k + 294 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 294 = 3025 - 1176 = 1849 = 43^2$.

Найдем корни для $k$:

$k_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 + 43}{2} = \frac{98}{2} = 49$

$k_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 - 43}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Можно использовать любое из найденных значений $k$. Выберем $k = 6$. Тогда наша замена: $y = 6 - 3x$.

Подставим $k=6$ в преобразованное уравнение для $y$:

$y^2 + (55 - 2 \cdot 6)y = 0$

$y^2 + 43y = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$y(y + 43) = 0$

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -43$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. При $y_1 = 0$: $6 - 3x = 0 \implies 3x = 6 \implies x_1 = 2$.

2. При $y_2 = -43$: $6 - 3x = -43 \implies 3x = 6 + 43 \implies 3x = 49 \implies x_2 = \frac{49}{3}$.

Ответ: $2; \frac{49}{3}$.

б) $(5x - 63)(5x - 18) = 550$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Ищем замену вида $y = 5x - k$.

Выразим множители через $y$:

$5x - 63 = (5x - k) - 63 + k = y + k - 63$

$5x - 18 = (5x - k) - 18 + k = y + k - 18$

Подставим в исходное уравнение:

$(y + k - 63)(y + k - 18) = 550$

Раскроем скобки: $y^2 + (k - 18)y + (k - 63)y + (k - 63)(k - 18) = 550$

$y^2 + (2k - 81)y + (k - 63)(k - 18) = 550$

Чтобы получить неполное квадратное уравнение, приравняем свободные члены: $(k - 63)(k - 18) = 550$. Решим это уравнение относительно $k$:

$k^2 - 18k - 63k + 1134 = 550$

$k^2 - 81k + 1134 - 550 = 0$

$k^2 - 81k + 584 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-81)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 584 = 6561 - 2336 = 4225 = 65^2$.

Найдем корни для $k$:

$k_1 = \frac{81 + 65}{2} = \frac{146}{2} = 73$

$k_2 = \frac{81 - 65}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Выберем меньшее значение $k = 8$. Тогда замена будет $y = 5x - 8$.

Подставим $k=8$ в уравнение для $y$:

$y^2 + (2 \cdot 8 - 81)y = 0$

$y^2 - 65y = 0$

Решим это уравнение:

$y(y - 65) = 0$

Получаем два значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = 65$.

Выполним обратную замену для нахождения $x$:

1. При $y_1 = 0$: $5x - 8 = 0 \implies 5x = 8 \implies x_1 = \frac{8}{5}$.

2. При $y_2 = 65$: $5x - 8 = 65 \implies 5x = 73 \implies x_2 = \frac{73}{5}$.

Ответ: $\frac{8}{5}; \frac{73}{5}$.