Номер 514, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 514, страница 149.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ (514–515)

514 Все данные уравнения имеют корни. В каждом случае объясните, почему уравнение имеет корни одинаковых знаков, и определите знаки корней:

а) $x^2 + 3x + 2 = 0$;

б) $x^2 - 3x + 2 = 0$;

в) $x^2 - 5x + 4 = 0$;

г) $x^2 + 5x + 4 = 0$;

д) $x^2 - 6x + 8 = 0$;

е) $x^2 + 8x + 7 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для анализа знаков корней данных квадратных уравнений воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ верны следующие соотношения: их сумма $x_1 + x_2 = -p$ и их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

Корни имеют одинаковые знаки в том случае, если их произведение положительно. Из теоремы Виета следует, что $x_1 \cdot x_2 = q$. Таким образом, если свободный член $q > 0$, то корни имеют одинаковые знаки. Во всех представленных уравнениях это условие выполняется.

Чтобы определить, являются ли корни положительными или отрицательными, нужно проанализировать их сумму, $x_1 + x_2 = -p$. Если известно, что корни имеют одинаковый знак, то:
- при положительной сумме ($x_1 + x_2 > 0$, что соответствует $p < 0$) оба корня положительны;
- при отрицательной сумме ($x_1 + x_2 < 0$, что соответствует $p > 0$) оба корня отрицательны.

а) $x^2 + 3x + 2 = 0$
Для этого приведенного квадратного уравнения коэффициенты равны $p=3$ и $q=2$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 2$. Так как произведение корней является положительным числом ($2>0$), то оба корня имеют одинаковый знак.
Сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p = -3$. Так как корни имеют одинаковый знак и их сумма отрицательна, то оба корня являются отрицательными.
Ответ: Уравнение имеет корни одинаковых знаков, потому что свободный член $q=2$ положителен. Оба корня отрицательные, так как при одинаковых знаках их сумма $x_1+x_2=-3$ отрицательна.

б) $x^2 - 3x + 2 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты $p = -3$ и $q = 2$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 2$. Так как $2 > 0$, корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-3) = 3$. Так как корни имеют одинаковый знак и их сумма положительна, то оба корня являются положительными.
Ответ: Уравнение имеет корни одинаковых знаков, потому что свободный член $q=2$ положителен. Оба корня положительные, так как при одинаковых знаках их сумма $x_1+x_2=3$ положительна.

в) $x^2 - 5x + 4 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты $p = -5$ и $q = 4$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 4$. Так как $4 > 0$, корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5$. Так как корни имеют одинаковый знак и их сумма положительна, то оба корня являются положительными.
Ответ: Уравнение имеет корни одинаковых знаков, потому что свободный член $q=4$ положителен. Оба корня положительные, так как при одинаковых знаках их сумма $x_1+x_2=5$ положительна.

г) $x^2 + 5x + 4 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты $p = 5$ и $q = 4$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 4$. Так как $4 > 0$, корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -5$. Так как корни имеют одинаковый знак и их сумма отрицательна, то оба корня являются отрицательными.
Ответ: Уравнение имеет корни одинаковых знаков, потому что свободный член $q=4$ положителен. Оба корня отрицательные, так как при одинаковых знаках их сумма $x_1+x_2=-5$ отрицательна.

д) $x^2 - 6x + 8 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты $p = -6$ и $q = 8$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 8$. Так как $8 > 0$, корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-6) = 6$. Так как корни имеют одинаковый знак и их сумма положительна, то оба корня являются положительными.
Ответ: Уравнение имеет корни одинаковых знаков, потому что свободный член $q=8$ положителен. Оба корня положительные, так как при одинаковых знаках их сумма $x_1+x_2=6$ положительна.

е) $x^2 + 8x + 7 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты $p = 8$ и $q = 7$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 7$. Так как $7 > 0$, корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -8$. Так как корни имеют одинаковый знак и их сумма отрицательна, то оба корня являются отрицательными.
Ответ: Уравнение имеет корни одинаковых знаков, потому что свободный член $q=7$ положителен. Оба корня отрицательные, так как при одинаковых знаках их сумма $x_1+x_2=-8$ отрицательна.