Номер 519, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 519, страница 150.

Условие.

519 a) $z^2 - 11z + 18 = 0;$

б) $x^2 + 5x - 6 = 0;$

В) $y^2 - 14y + 33 = 0;$

Г) $t^2 + 7t - 18 = 0;$

Д) $u^2 + 14u + 24 = 0;$

е) $z^2 - 2z - 3 = 0;$

Ж) $x^2 + 13x + 12 = 0;$

З) $y^2 - 4y - 21 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $z^2 - 11z + 18 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения вида $az^2 + bz + c = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант.
Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -11$, $c = 18$.

Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
$z_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $2; 9$.

б) $x^2 + 5x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 1$, $b = 5$, $c = -6$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Ответ: $-6; 1$.

в) $y^2 - 14y + 33 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = -14$, $c = 33$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
$y_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: $3; 11$.

г) $t^2 + 7t - 18 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = 7$, $c = -18$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.

Ответ: $-9; 2$.

д) $u^2 + 14u + 24 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = 14$, $c = 24$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$u_1 = \frac{-14 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$u_2 = \frac{-14 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 10}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

Ответ: $-12; -2$.

е) $z^2 - 2z - 3 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$z_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Ответ: $-1; 3$.

ж) $x^2 + 13x + 12 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = 13$, $c = 12$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 169 - 48 = 121$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-13 + 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-13 - 11}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

Ответ: $-12; -1$.

з) $y^2 - 4y - 21 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = -4$, $c = -21$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: $-3; 7$.