Номер 525, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 525, страница 151.

Условие.

525 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Найдём все целые значения p, при которых уравнение $x^2 + px + 15 = 0$ имеет целые корни.

Решение. Найдём все пары целых чисел, произведение которых равно 15:

$15 = 1 \cdot 15 = 3 \cdot 5 = (-1) \cdot (-15) = (-3) \cdot (-5)$

Соответствующие значения p равны -16, -8; 16, 8.

Найдите все целые значения p, при которых данное уравнение имеет целые корни:

а) $x^2 + px + 15 = 0$;

б) $x^2 + px - 15 = 0$;

в) $x^2 + px + 12 = 0$;

г) $x^2 + px - 12 = 0$;

д) $x^2 + px + 10 = 0$;

е) $x^2 + px - 8 = 0$;

ж) $x^2 + px + 3 = 0$;

з) $x^2 + px - 32 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$ имело целые корни $x_1$ и $x_2$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия теоремы Виета для целых чисел:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Из второго равенства следует, что целые корни $x_1$ и $x_2$ являются делителями свободного члена $q$. Из первого равенства можно найти все возможные целые значения $p$, зная пары корней: $p = -(x_1 + x_2)$.

Таким образом, для решения каждой задачи мы будем находить все пары целых делителей свободного члена $q$, а затем для каждой такой пары $(x_1, x_2)$ вычислять соответствующее значение $p$.

а) В уравнении $x^2 + px + 15 = 0$ свободный член $q = 15$.
Найдём все пары целых чисел $(x_1, x_2)$, произведение которых равно 15:$(1, 15)$, $(3, 5)$, $(-1, -15)$, $(-3, -5)$.
Для каждой пары корней найдём соответствующее значение $p = -(x_1 + x_2)$:
Если корни $1$ и $15$, то $p = -(1+15) = -16$.
Если корни $3$ и $5$, то $p = -(3+5) = -8$.
Если корни $-1$ и $-15$, то $p = -(-1-15) = 16$.
Если корни $-3$ и $-5$, то $p = -(-3-5) = 8$.
Ответ: $p \in \{-16, -8, 8, 16\}$.

б) В уравнении $x^2 + px - 15 = 0$ свободный член $q = -15$.
Пары целых делителей числа -15: $(1, -15)$, $(-1, 15)$, $(3, -5)$, $(-3, 5)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1 + (-15)) = -(-14) = 14$.
$p = -(-1 + 15) = -14$.
$p = -(3 + (-5)) = -(-2) = 2$.
$p = -(-3 + 5) = -2$.
Ответ: $p \in \{-14, -2, 2, 14\}$.

в) В уравнении $x^2 + px + 12 = 0$ свободный член $q = 12$.
Пары целых делителей числа 12: $(1, 12)$, $(2, 6)$, $(3, 4)$, $(-1, -12)$, $(-2, -6)$, $(-3, -4)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1+12) = -13$; $p = -(2+6) = -8$; $p = -(3+4) = -7$.
$p = -(-1-12) = 13$; $p = -(-2-6) = 8$; $p = -(-3-4) = 7$.
Ответ: $p \in \{-13, -8, -7, 7, 8, 13\}$.

г) В уравнении $x^2 + px - 12 = 0$ свободный член $q = -12$.
Пары целых делителей числа -12: $(1, -12)$, $(-1, 12)$, $(2, -6)$, $(-2, 6)$, $(3, -4)$, $(-3, 4)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1-12) = 11$; $p = -(-1+12) = -11$.
$p = -(2-6) = 4$; $p = -(-2+6) = -4$.
$p = -(3-4) = 1$; $p = -(-3+4) = -1$.
Ответ: $p \in \{-11, -4, -1, 1, 4, 11\}$.

д) В уравнении $x^2 + px + 10 = 0$ свободный член $q = 10$.
Пары целых делителей числа 10: $(1, 10)$, $(2, 5)$, $(-1, -10)$, $(-2, -5)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1+10) = -11$; $p = -(2+5) = -7$.
$p = -(-1-10) = 11$; $p = -(-2-5) = 7$.
Ответ: $p \in \{-11, -7, 7, 11\}$.

е) В уравнении $x^2 + px - 8 = 0$ свободный член $q = -8$.
Пары целых делителей числа -8: $(1, -8)$, $(-1, 8)$, $(2, -4)$, $(-2, 4)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1-8) = 7$; $p = -(-1+8) = -7$.
$p = -(2-4) = 2$; $p = -(-2+4) = -2$.
Ответ: $p \in \{-7, -2, 2, 7\}$.

ж) В уравнении $x^2 + px + 3 = 0$ свободный член $q = 3$.
Пары целых делителей числа 3: $(1, 3)$, $(-1, -3)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1+3) = -4$.
$p = -(-1-3) = 4$.
Ответ: $p \in \{-4, 4\}$.

з) В уравнении $x^2 + px - 32 = 0$ свободный член $q = -32$.
Пары целых делителей числа -32: $(1, -32)$, $(-1, 32)$, $(2, -16)$, $(-2, 16)$, $(4, -8)$, $(-4, 8)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1-32) = 31$; $p = -(-1+32) = -31$.
$p = -(2-16) = 14$; $p = -(-2+16) = -14$.
$p = -(4-8) = 4$; $p = -(-4+8) = -4$.
Ответ: $p \in \{-31, -14, -4, 4, 14, 31\}$.