Номер 518, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 518, страница 150.

Условие.

518 а) $x^2 - 3x - 10 = 0;$

б) $u^2 - 4u - 5 = 0;$

В) $v^2 + 7v - 60 = 0;$

Г) $y^2 + y - 56 = 0;$

Д) $x^2 + 5x - 14 = 0;$

е) $t^2 - t - 42 = 0;$

ж) $y^2 + 5y - 50 = 0;$

З) $z^2 + z - 20 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^2 - 3x - 10 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1, b=-3, c=-10$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: $-2; 5$.

б) $u^2 - 4u - 5 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-4, c=-5$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$u_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$u_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: $-1; 5$.

в) $v^2 + 7v - 60 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=7, c=-60$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$v_1 = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$v_2 = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
Ответ: $-12; 5$.

г) $y^2 + y - 56 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=1, c=-56$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: $-8; 7$.

д) $x^2 + 5x - 14 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=5, c=-14$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Ответ: $-7; 2$.

е) $t^2 - t - 42 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-1, c=-42$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Ответ: $-6; 7$.

ж) $y^2 + 5y - 50 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=5, c=-50$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-5 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y_2 = \frac{-5 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 15}{2} = \frac{-20}{2} = -10$
Ответ: $-10; 5$.

з) $z^2 + z - 20 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=1, c=-20$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$z_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: $-5; 4$.