Номер 2, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 149.

Условие.

Как, используя формулы Виета, найти сумму и произведение корней неприведённого квадратного уравнения? Запишите соответствующие формулы (фрагмент 1). Убедитесь, что уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$ имеет корни, и найдите их сумму и произведение.

Решение 3.

Решение 4.

Как, используя формулы Виета, найти сумму и произведение корней неприведенного квадратного уравнения? Запишите соответствующие формулы (фрагмент 1).

Для общего (не приведенного) квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$, и $x_1$, $x_2$ — его корни, используются следующие формулы Виета:
1. Сумма корней ($x_1 + x_2$) равна отношению второго коэффициента ($b$) к первому ($a$), взятому с противоположным знаком.
Формула суммы корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
2. Произведение корней ($x_1 \cdot x_2$) равно отношению свободного члена ($c$) к первому коэффициенту ($a$).
Формула произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
Эти формулы справедливы только в том случае, если уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

Ответ: Сумма корней вычисляется по формуле $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней — по формуле $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Убедитесь, что уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$ имеет корни, и найдите их сумму и произведение.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$.

1. Проверка наличия корней.
Чтобы определить, имеет ли уравнение действительные корни, необходимо вычислить его дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$. Уравнение имеет корни, если $D \ge 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
Поскольку $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Нахождение суммы и произведения корней по формулам Виета.
Теперь, когда мы убедились, что корни существуют, мы можем применить формулы Виета для не приведенного квадратного уравнения.
Сумма корней:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$
Произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: Дискриминант уравнения равен $25$, что подтверждает наличие корней. Сумма корней равна $3.5$, произведение корней равно $1.5$.