Номер 516, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 516, страница 149.

Условие.

516 Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый:

а) $x^2 - 7x + 10 = 0$, $x_1 = 2$;

б) $x^2 + 8x + 15 = 0$, $x_1 = -3$;

в) $x^2 + 3x - 18 = 0$, $x_1 = 3$;

г) $x^2 - 6x - 7 = 0$, $x_1 = 7$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, имеющего корни $x_1$ и $x_2$, справедливы следующие соотношения: сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. Зная один корень, мы можем легко найти второй, используя одну из этих формул. В данном случае удобнее использовать формулу произведения корней.

а) Дано уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$ и один из его корней $x_1 = 2$. Свободный член этого уравнения $q=10$. Согласно теореме Виета, произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$. Подставим известные значения в это равенство: $2 \cdot x_2 = 10$. Отсюда находим второй корень: $x_2 = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: $x_2 = 5$.

б) Дано уравнение $x^2 + 8x + 15 = 0$ и один из его корней $x_1 = -3$. Свободный член этого уравнения $q=15$. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. Подставим известные значения: $(-3) \cdot x_2 = 15$. Отсюда находим второй корень: $x_2 = \frac{15}{-3} = -5$.
Ответ: $x_2 = -5$.

в) Дано уравнение $x^2 + 3x - 18 = 0$ и один из его корней $x_1 = 3$. Свободный член этого уравнения $q=-18$. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. Подставим известные значения: $3 \cdot x_2 = -18$. Отсюда находим второй корень: $x_2 = \frac{-18}{3} = -6$.
Ответ: $x_2 = -6$.

г) Дано уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$ и один из его корней $x_1 = 7$. Свободный член этого уравнения $q=-7$. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. Подставим известные значения: $7 \cdot x_2 = -7$. Отсюда находим второй корень: $x_2 = \frac{-7}{7} = -1$.
Ответ: $x_2 = -1$.