Номер 523, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 523, страница 151.

Условие.

523 a) Один из корней уравнения $x^2 + px - 20 = 0$ равен $-5$.
Определите другой корень и коэффициент $p$.

б) Один из корней уравнения $3x^2 + px + 4 = 0$ равен $-2$.
Определите другой корень и коэффициент $p$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано квадратное уравнение $x^2 + px - 20 = 0$ и один из его корней $x_1 = -5$. Для нахождения второго корня $x_2$ и коэффициента $p$ воспользуемся теоремой Виета.
Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$
В нашем уравнении коэффициенты $b = p$ и $c = -20$.
Используем формулу для произведения корней, чтобы найти $x_2$:
$x_1 \cdot x_2 = -20$
Подставляем известный корень $x_1 = -5$:
$(-5) \cdot x_2 = -20$
$x_2 = \frac{-20}{-5} = 4$
Теперь, зная оба корня, используем формулу для суммы корней, чтобы найти коэффициент $p$:
$x_1 + x_2 = -p$
$-5 + 4 = -p$
$-1 = -p$
$p = 1$
Ответ: другой корень равен 4, коэффициент p равен 1.

б) Дано квадратное уравнение $3x^2 + px + 4 = 0$ и один из его корней $x_1 = -2$. Для нахождения второго корня $x_2$ и коэффициента $p$ также воспользуемся теоремой Виета.
Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ теорема Виета имеет вид:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
В нашем уравнении коэффициенты $a = 3$, $b = p$ и $c = 4$.
Используем формулу для произведения корней, чтобы найти $x_2$:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{3}$
Подставляем известный корень $x_1 = -2$:
$(-2) \cdot x_2 = \frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{4}{3} \div (-2) = \frac{4}{3 \cdot (-2)} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$
Теперь, зная оба корня, используем формулу для суммы корней, чтобы найти коэффициент $p$:
$x_1 + x_2 = -\frac{p}{3}$
$-2 + (-\frac{2}{3}) = -\frac{p}{3}$
$-\frac{6}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{p}{3}$
$-\frac{8}{3} = -\frac{p}{3}$
Умножив обе части равенства на $-3$, получаем:
$p = 8$
Ответ: другой корень равен $-\frac{2}{3}$, коэффициент p равен 8.