Номер 528, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 528, страница 152.

Условие.

ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (528–529)

528 Составьте квадратное уравнение, если известно, что:

a) $x_1x_2=12, x_1^2 + x_2^2 = 40;$

б) $x_1x_2 = -3, x_1^2 + x_2^2 = 10.$

Указание. Найдите сумму корней уравнения, воспользовавшись формулой квадрата суммы двух чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для составления квадратного уравнения вида $x^2+px+q=0$, где $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, для приведенного квадратного уравнения справедливы следующие соотношения:

• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 \cdot x_2 = q$

Таким образом, уравнение можно записать в виде $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$.

В обоих пунктах задачи нам известно произведение корней $x_1x_2$, что соответствует коэффициенту $q$. Нам необходимо найти сумму корней $x_1+x_2$. Для этого воспользуемся указанием и формулой квадрата суммы двух чисел: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применительно к корням уравнения: $(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Выразим отсюда квадрат суммы корней: $(x_1+x_2)^2 = (x_1^2+x_2^2) + 2(x_1x_2)$.

a) Дано: $x_1x_2=12$ и $x_1^2+x_2^2=40$.

1. Найдем сумму корней. Подставим известные значения в выведенную формулу:

$(x_1+x_2)^2 = 40 + 2 \cdot 12 = 40 + 24 = 64$.

Из этого следует, что сумма корней может принимать два значения:

$x_1+x_2 = \sqrt{64} = 8$ или $x_1+x_2 = -\sqrt{64} = -8$.

2. Составим квадратные уравнения для каждого случая.

Случай 1: $x_1+x_2 = 8$ и $x_1x_2 = 12$.

Уравнение имеет вид: $x^2 - (8)x + 12 = 0$, то есть $x^2 - 8x + 12 = 0$.

Случай 2: $x_1+x_2 = -8$ и $x_1x_2 = 12$.

Уравнение имеет вид: $x^2 - (-8)x + 12 = 0$, то есть $x^2 + 8x + 12 = 0$.

Оба уравнения удовлетворяют исходным условиям.

Ответ: $x^2 - 8x + 12 = 0$ или $x^2 + 8x + 12 = 0$.

б) Дано: $x_1x_2=-3$ и $x_1^2+x_2^2=10$.

1. Найдем сумму корней. Подставим известные значения в формулу:

$(x_1+x_2)^2 = 10 + 2 \cdot (-3) = 10 - 6 = 4$.

Сумма корней может принимать два значения:

$x_1+x_2 = \sqrt{4} = 2$ или $x_1+x_2 = -\sqrt{4} = -2$.

2. Составим квадратные уравнения для каждого случая.

Случай 1: $x_1+x_2 = 2$ и $x_1x_2 = -3$.

Уравнение имеет вид: $x^2 - (2)x + (-3) = 0$, то есть $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Случай 2: $x_1+x_2 = -2$ и $x_1x_2 = -3$.

Уравнение имеет вид: $x^2 - (-2)x + (-3) = 0$, то есть $x^2 + 2x - 3 = 0$.

Оба уравнения являются решением задачи.

Ответ: $x^2 - 2x - 3 = 0$ или $x^2 + 2x - 3 = 0$.