Номер 530, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 530, страница 152.

Условие.

530 Исследуем

1) Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равна нулю, то одним из корней этого уравнения является число 1.

2) Составьте какое-нибудь квадратное уравнение, имеющее корень, равный 1, и найдите второй корень этого уравнения.

3) Найдите устно корни уравнения:

а) $x^2 - 1999x + 1998 = 0$;

б) $x^2 + 2000x - 2001 = 0$;

в) $8x^2 - 5x - 3 = 0$;

г) $100x^2 - 150x + 50 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Рассмотрим квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. По условию, сумма его коэффициентов равна нулю: $a + b + c = 0$.

Корень уравнения – это такое значение переменной $x$, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Чтобы доказать, что число 1 является корнем данного уравнения, подставим $x = 1$ в левую часть уравнения:

$a \cdot (1)^2 + b \cdot (1) + c = a \cdot 1 + b + c = a + b + c$.

Поскольку по условию $a + b + c = 0$, то при $x = 1$ левая часть уравнения обращается в ноль, и мы получаем верное равенство $0 = 0$. Следовательно, $x = 1$ является корнем уравнения, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Чтобы составить квадратное уравнение с корнем, равным 1, воспользуемся свойством из пункта 1: выберем коэффициенты $a$, $b$ и $c$ ($a \neq 0$) так, чтобы их сумма была равна нулю.

Например, пусть $a = 5$ и $b = -2$. Тогда для выполнения условия $a + b + c = 0$ необходимо, чтобы $c = -(a+b) = -(5-2) = -3$.

Таким образом, мы получаем квадратное уравнение $5x^2 - 2x - 3 = 0$. Один из его корней, по построению, $x_1 = 1$.

Для нахождения второго корня $x_2$ воспользуемся теоремой Виета, согласно которой произведение корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равно $\frac{c}{a}$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим известные значения: $1 \cdot x_2 = \frac{-3}{5}$.

Отсюда второй корень $x_2 = -\frac{3}{5}$.

Ответ: Пример уравнения: $5x^2 - 2x - 3 = 0$. Второй корень этого уравнения: $-\frac{3}{5}$.

3)

Для устного нахождения корней воспользуемся свойством, доказанным в пункте 1, и теоремой Виета.

а) $x^2 - 1999x + 1998 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-1999$, $c=1998$. Сумма коэффициентов: $1 + (-1999) + 1998 = 1 - 1999 + 1998 = 0$. Следовательно, один из корней $x_1 = 1$. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1998}{1} = 1998$. Тогда $1 \cdot x_2 = 1998$, откуда $x_2 = 1998$.

Ответ: $1; 1998$.

б) $x^2 + 2000x - 2001 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2000$, $c=-2001$. Сумма коэффициентов: $1 + 2000 + (-2001) = 2001 - 2001 = 0$. Следовательно, один из корней $x_1 = 1$. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2001}{1} = -2001$. Тогда $1 \cdot x_2 = -2001$, откуда $x_2 = -2001$.

Ответ: $1; -2001$.

в) $8x^2 - 5x - 3 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=8$, $b=-5$, $c=-3$. Сумма коэффициентов: $8 + (-5) + (-3) = 8 - 5 - 3 = 0$. Следовательно, один из корней $x_1 = 1$. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{8}$. Тогда $1 \cdot x_2 = -\frac{3}{8}$, откуда $x_2 = -\frac{3}{8}$.

Ответ: $1; -\frac{3}{8}$.

г) $100x^2 - 150x + 50 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=100$, $b=-150$, $c=50$. Сумма коэффициентов: $100 + (-150) + 50 = 150 - 150 = 0$. Следовательно, один из корней $x_1 = 1$. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$. Тогда $1 \cdot x_2 = \frac{1}{2}$, откуда $x_2 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1; \frac{1}{2}$.