Номер 3, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 155.

Условие.

Всегда ли квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители? Сформулируйте соответствующие утверждения (фрагмент 2). Какой из трёхчленов $x^2 + 4x + 5$ и $x^2 + 4x - 5$ можно разложить на линейные множители, а какой — нельзя?

Решение 3.

Решение 4.

Всегда ли квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители?

Нет, не всякий квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители. Возможность разложения напрямую зависит от того, имеет ли соответствующее квадратное уравнение действительные корни. Если действительных корней нет, то и разложить трёхчлен на линейные множители с действительными коэффициентами невозможно.

Ответ: Не всегда.

Сформулируйте соответствующие утверждения

Утверждения, определяющие возможность разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители, основываются на знаке его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Ответ:

• Если дискриминант $D > 0$, то уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня ($x_1$ и $x_2$), и трёхчлен раскладывается на множители по формуле: $a(x - x_1)(x - x_2)$.
• Если дискриминант $D = 0$, то уравнение имеет один действительный корень ($x_1$), и трёхчлен раскладывается на множители по формуле: $a(x - x_1)^2$.
• Если дискриминант $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, и, следовательно, квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Какой из трёхчленов $x^2 + 4x + 5$ и $x^2 + 4x - 5$ можно разложить на линейные множители, а какой — нельзя?

Чтобы ответить на этот вопрос, проанализируем каждый трёхчлен, вычислив его дискриминант.

1. Рассмотрим трёхчлен $x^2 + 4x + 5$.
Здесь коэффициенты $a=1, b=4, c=5$.
Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, у данного трёхчлена нет действительных корней, и его нельзя разложить на линейные множители.

2. Рассмотрим трёхчлен $x^2 + 4x - 5$.
Здесь коэффициенты $a=1, b=4, c=-5$.
Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Поскольку дискриминант $D > 0$, у данного трёхчлена есть два действительных корня, и его можно разложить на линейные множители. Найдём эти корни, решив уравнение $x^2 + 4x - 5 = 0$:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2}$.
$x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$
Теперь выполним разложение по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 4x - 5 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-5)) = (x-1)(x+5)$.

Ответ: Трёхчлен $x^2 + 4x - 5$ можно разложить на линейные множители: $(x-1)(x+5)$. Трёхчлен $x^2 + 4x + 5$ разложить на линейные множители нельзя.