Номер 524, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 524, страница 151.

Условие.

524 a) Один из корней уравнения $x^2 - 8x + q = 0$ равен -10. Определите другой корень и коэффициент $q$.

б) Один из корней уравнения $2x^2 + 3x + q = 0$ равен 3. Определите другой корень и коэффициент $q$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
В нашем уравнении $x^2 - 8x + q = 0$ имеем:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.
По условию, один из корней, пусть это будет $x_1$, равен $-10$. Подставим это значение в формулу для суммы корней, чтобы найти второй корень $x_2$:
$-10 + x_2 = 8$
$x_2 = 8 + 10$
$x_2 = 18$
Теперь, зная оба корня, мы можем найти коэффициент $q$ из формулы для произведения корней:
$q = x_1 \cdot x_2 = -10 \cdot 18 = -180$
Таким образом, второй корень уравнения равен 18, а коэффициент $q$ равен -180.
Ответ: другой корень равен 18, коэффициент $q = -180$.

б) Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ по теореме Виета справедливы следующие соотношения для корней $x_1$ и $x_2$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
В нашем уравнении $2x^2 + 3x + q = 0$ коэффициенты равны $a=2$, $b=3$, $c=q$. Тогда:
$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{q}{2}$
По условию, один из корней, пусть это будет $x_1$, равен 3. Подставим это значение в формулу для суммы корней, чтобы найти второй корень $x_2$:
$3 + x_2 = -\frac{3}{2}$
$x_2 = -\frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{9}{2} = -4.5$
Теперь найдем коэффициент $q$, используя формулу для произведения корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{q}{2}$
$3 \cdot (-\frac{9}{2}) = \frac{q}{2}$
$-\frac{27}{2} = \frac{q}{2}$
$q = -27$
Таким образом, второй корень уравнения равен -4.5, а коэффициент $q$ равен -27.
Ответ: другой корень равен -4.5, коэффициент $q = -27$.