Номер 522, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 522, страница 150.

Условие.

522 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Уравнение $(3x - 7)(3x + 1) = 9$ с помощью замены $y = 3x - 7$ сводится к уравнению, которое легко решается устно с использованием формул Виета. Имеем

$(3x - 7)((3x - 7) + 8) = y(y + 8).$

Получаем уравнение $y(y + 8) = 9$. Отсюда $y^2 + 8y - 9 = 0$.

Воспользовавшись этим приёмом, решите уравнение:

а) $(12 - 3x)(18 - 3x) = -5;$

б) $(2x + 6)(5 - 2x) = 10$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(12 - 3x)(18 - 3x) = -5$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом замены переменной. В скобках есть общая часть $-3x$. Выберем одну из скобок в качестве новой переменной.

Пусть $y = 12 - 3x$.

Теперь выразим вторую скобку $(18 - 3x)$ через новую переменную $y$:

$18 - 3x = (12 - 3x) + 6 = y + 6$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$y(y + 6) = -5$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 + 6y = -5$

$y^2 + 6y + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Легко подобрать корни:

$y_1 = -1$ и $y_2 = -5$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Для $y_1 = -1$:

$12 - 3x = -1$

$-3x = -1 - 12$

$-3x = -13$

$x_1 = \frac{-13}{-3} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$

2. Для $y_2 = -5$:

$12 - 3x = -5$

$-3x = -5 - 12$

$-3x = -17$

$x_2 = \frac{-17}{-3} = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}$

Ответ: $4\frac{1}{3}$; $5\frac{2}{3}$.

б) $(2x + 6)(5 - 2x) = 10$

Чтобы применить метод замены, нужно привести выражения в скобках к похожему виду. Вынесем знак минус из второй скобки:

$(2x + 6)(-(2x - 5)) = 10$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$(2x + 6)(2x - 5) = -10$

Теперь введем замену. Пусть $y = 2x + 6$.

Выразим второй множитель $(2x - 5)$ через $y$:

$2x - 5 = (2x + 6) - 11 = y - 11$.

Подставим $y$ в преобразованное уравнение:

$y(y - 11) = -10$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$y^2 - 11y = -10$

$y^2 - 11y + 10 = 0$

Используем теорему Виета: сумма корней равна $11$, а их произведение равно $10$. Отсюда находим корни:

$y_1 = 1$ и $y_2 = 10$.

Выполним обратную замену для нахождения $x$.

1. Для $y_1 = 1$:

$2x + 6 = 1$

$2x = 1 - 6$

$2x = -5$

$x_1 = -\frac{5}{2} = -2,5$

2. Для $y_2 = 10$:

$2x + 6 = 10$

$2x = 10 - 6$

$2x = 4$

$x_2 = 2$

Ответ: $-2,5; 2$.