Страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

518 а) $x^2 - 3x - 10 = 0;$

б) $u^2 - 4u - 5 = 0;$

В) $v^2 + 7v - 60 = 0;$

Г) $y^2 + y - 56 = 0;$

Д) $x^2 + 5x - 14 = 0;$

е) $t^2 - t - 42 = 0;$

ж) $y^2 + 5y - 50 = 0;$

З) $z^2 + z - 20 = 0.$

а) $x^2 - 3x - 10 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1, b=-3, c=-10$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: $-2; 5$.

б) $u^2 - 4u - 5 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-4, c=-5$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$u_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$u_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: $-1; 5$.

в) $v^2 + 7v - 60 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=7, c=-60$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$v_1 = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$v_2 = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
Ответ: $-12; 5$.

г) $y^2 + y - 56 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=1, c=-56$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: $-8; 7$.

д) $x^2 + 5x - 14 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=5, c=-14$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Ответ: $-7; 2$.

е) $t^2 - t - 42 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-1, c=-42$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Ответ: $-6; 7$.

ж) $y^2 + 5y - 50 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=5, c=-50$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-5 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y_2 = \frac{-5 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 15}{2} = \frac{-20}{2} = -10$
Ответ: $-10; 5$.

з) $z^2 + z - 20 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=1, c=-20$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$z_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: $-5; 4$.

519 a) $z^2 - 11z + 18 = 0;$

б) $x^2 + 5x - 6 = 0;$

В) $y^2 - 14y + 33 = 0;$

Г) $t^2 + 7t - 18 = 0;$

Д) $u^2 + 14u + 24 = 0;$

е) $z^2 - 2z - 3 = 0;$

Ж) $x^2 + 13x + 12 = 0;$

З) $y^2 - 4y - 21 = 0.$

а) $z^2 - 11z + 18 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения вида $az^2 + bz + c = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант.
Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -11$, $c = 18$.

Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
$z_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $2; 9$.

б) $x^2 + 5x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 1$, $b = 5$, $c = -6$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Ответ: $-6; 1$.

в) $y^2 - 14y + 33 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = -14$, $c = 33$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
$y_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: $3; 11$.

г) $t^2 + 7t - 18 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = 7$, $c = -18$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.

Ответ: $-9; 2$.

д) $u^2 + 14u + 24 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = 14$, $c = 24$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$u_1 = \frac{-14 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$u_2 = \frac{-14 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 10}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

Ответ: $-12; -2$.

е) $z^2 - 2z - 3 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$z_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Ответ: $-1; 3$.

ж) $x^2 + 13x + 12 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = 13$, $c = 12$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 169 - 48 = 121$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-13 + 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-13 - 11}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

Ответ: $-12; -1$.

з) $y^2 - 4y - 21 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = -4$, $c = -21$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

Так как $D > 0$, находим два корня по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: $-3; 7$.

520 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Для составления квадратного уравнения, имеющего корни 8 и 7, можно применить два способа:

1) составить произведение $(x - 8)(x - 7) = 0$, откуда получаем уравнение $x^2 - 15x + 56 = 0$;

2) использовать формулы Виета: $x^2 - (8 + 7)x + 8 \cdot 7 = 0$, откуда получаем то же уравнение $x^2 - 15x + 56 = 0$.

Составьте двумя способами квадратное уравнение, имеющее корни:

a) 11 и 4;

б) -4 и -5;

в) -10 и 2;

г) -1 и 15.

а) 11 и 4;

1-й способ (через разложение на множители):

Если квадратное уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то его можно представить в виде $(x - x_1)(x - x_2) = 0$. Подставим данные корни $x_1 = 11$ и $x_2 = 4$ в эту формулу:

$(x - 11)(x - 4) = 0$

Теперь раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 - 4x - 11x + 44 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 15x + 44 = 0$

2-й способ (по теореме Виета):

Согласно теореме, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$. Таким образом, уравнение можно записать как $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

Найдем сумму и произведение корней $x_1=11$ и $x_2=4$:

Сумма: $x_1 + x_2 = 11 + 4 = 15$

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 11 \cdot 4 = 44$

Подставим эти значения в формулу:

$x^2 - (15)x + 44 = 0$

$x^2 - 15x + 44 = 0$

Ответ: $x^2 - 15x + 44 = 0$

б) -4 и -5;

1-й способ (через разложение на множители):

Подставим корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -5$ в формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$:

$(x - (-4))(x - (-5)) = 0$

$(x + 4)(x + 5) = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 + 5x + 4x + 20 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 9x + 20 = 0$

2-й способ (по теореме Виета):

Найдем сумму и произведение корней $x_1 = -4$ и $x_2 = -5$:

Сумма: $x_1 + x_2 = -4 + (-5) = -9$

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot (-5) = 20$

Подставим в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (-9)x + 20 = 0$

$x^2 + 9x + 20 = 0$

Ответ: $x^2 + 9x + 20 = 0$

в) -10 и 2;

1-й способ (через разложение на множители):

Подставим корни $x_1 = -10$ и $x_2 = 2$ в формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$:

$(x - (-10))(x - 2) = 0$

$(x + 10)(x - 2) = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2x + 10x - 20 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 8x - 20 = 0$

2-й способ (по теореме Виета):

Найдем сумму и произведение корней $x_1 = -10$ и $x_2 = 2$:

Сумма: $x_1 + x_2 = -10 + 2 = -8$

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = -10 \cdot 2 = -20$

Подставим в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (-8)x + (-20) = 0$

$x^2 + 8x - 20 = 0$

Ответ: $x^2 + 8x - 20 = 0$

г) -1 и 15.

1-й способ (через разложение на множители):

Подставим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 15$ в формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$:

$(x - (-1))(x - 15) = 0$

$(x + 1)(x - 15) = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 - 15x + x - 15 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 14x - 15 = 0$

2-й способ (по теореме Виета):

Найдем сумму и произведение корней $x_1 = -1$ и $x_2 = 15$:

Сумма: $x_1 + x_2 = -1 + 15 = 14$

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = -1 \cdot 15 = -15$

Подставим в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (14)x + (-15) = 0$

$x^2 - 14x - 15 = 0$

Ответ: $x^2 - 14x - 15 = 0$

521 АНАЛИЗИРУЕМ Определите, имеет ли уравнение корни. Если имеет, то ответьте на следующие вопросы: 1) Сколько корней имеет уравнение? 2) Рациональными или иррациональными являются его корни? 3) Каковы знаки корней? 4) Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший модуль?

а) $3x^2 + 7x + 2 = 0$;

б) $3y^2 - 8y + 2 = 0$;

в) $4x^2 - 11x - 3 = 0$;

г) $-8z^2 - 2z + 3 = 0$;

д) $5x^2 - 3x + 1 = 0$;

е) $-6z^2 + 11z - 3 = 0$;

ж) $-2y^2 + 4y - 3 = 0$;

з) $2x^2 - 10x - 5 = 0$.

Для анализа каждого квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ мы будем использовать следующие шаги:

1. Определим наличие и количество корней с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Если $D < 0$, действительных корней нет.
2. Выясним, являются ли корни рациональными или иррациональными. Если $D \ge 0$ и является полным квадратом целого числа, то корни рациональные. В противном случае — иррациональные.
3. Определим знаки корней с помощью теоремы Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, а сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$. Если $\frac{c}{a} > 0$, корни имеют одинаковые знаки (оба положительные, если $-\frac{b}{a} > 0$, и оба отрицательные, если $-\frac{b}{a} < 0$). Если $\frac{c}{a} < 0$, корни имеют разные знаки.
4. Если корни имеют разные знаки, сравним их модули по знаку их суммы $-\frac{b}{a}$. Если $-\frac{b}{a} > 0$, то положительный корень имеет больший модуль. Если $-\frac{b}{a} < 0$, то отрицательный корень имеет больший модуль.

а) $3x^2 + 7x + 2 = 0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=7$, $c=2$.

1) Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $D=25=5^2$, значит, корни рациональные.

3) Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3} > 0$, значит, корни имеют одинаковые знаки. Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{3} < 0$, значит, оба корня отрицательные.

4) Вопрос неприменим, так как корни одного знака.

Ответ: уравнение имеет два рациональных корня, оба отрицательные.

б) $3y^2 - 8y + 2 = 0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=-8$, $c=2$.

1) Дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 64 - 24 = 40$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $D=40$, не является полным квадратом, значит, корни иррациональные.

3) Произведение корней $y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3} > 0$, значит, корни имеют одинаковые знаки. Сумма корней $y_1 + y_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{-8}{3}) = \frac{8}{3} > 0$, значит, оба корня положительные.

4) Вопрос неприменим.

Ответ: уравнение имеет два иррациональных корня, оба положительные.

в) $4x^2 - 11x - 3 = 0$

Коэффициенты: $a=4$, $b=-11$, $c=-3$.

1) Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $D=169=13^2$, значит, корни рациональные.

3) Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{4} < 0$, значит, корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

4) Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{-11}{4}) = \frac{11}{4} > 0$. Так как сумма положительна, положительный корень имеет больший модуль.

Ответ: уравнение имеет два рациональных корня разных знаков; положительный корень имеет больший модуль.

г) $-8z^2 - 2z + 3 = 0$

Коэффициенты: $a=-8$, $b=-2$, $c=3$.

1) Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot (-8) \cdot 3 = 4 + 96 = 100$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $D=100=10^2$, значит, корни рациональные.

3) Произведение корней $z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{-8} < 0$, значит, корни имеют разные знаки.

4) Сумма корней $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{-2}{-8}) = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} < 0$. Так как сумма отрицательна, отрицательный корень имеет больший модуль.

Ответ: уравнение имеет два рациональных корня разных знаков; отрицательный корень имеет больший модуль.

д) $5x^2 - 3x + 1 = 0$

Коэффициенты: $a=5$, $b=-3$, $c=1$.

1) Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = -11$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

е) $-6z^2 + 11z - 3 = 0$

Коэффициенты: $a=-6$, $b=11$, $c=-3$.

1) Дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-3) = 121 - 72 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $D=49=7^2$, значит, корни рациональные.

3) Произведение корней $z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} > 0$, значит, корни имеют одинаковые знаки. Сумма корней $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{11}{-6}) = \frac{11}{6} > 0$, значит, оба корня положительные.

4) Вопрос неприменим.

Ответ: уравнение имеет два рациональных корня, оба положительные.

ж) $-2y^2 + 4y - 3 = 0$

Коэффициенты: $a=-2$, $b=4$, $c=-3$.

1) Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 16 - 24 = -8$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

з) $2x^2 - 10x - 5 = 0$

Коэффициенты: $a=2$, $b=-10$, $c=-5$.

1) Дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 100 + 40 = 140$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $D=140$, не является полным квадратом, значит, корни иррациональные.

3) Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{2} < 0$, значит, корни имеют разные знаки.

4) Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{-10}{2}) = 5 > 0$. Так как сумма положительна, положительный корень имеет больший модуль.

Ответ: уравнение имеет два иррациональных корня разных знаков; положительный корень имеет больший модуль.

522 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Уравнение $(3x - 7)(3x + 1) = 9$ с помощью замены $y = 3x - 7$ сводится к уравнению, которое легко решается устно с использованием формул Виета. Имеем

$(3x - 7)((3x - 7) + 8) = y(y + 8).$

Получаем уравнение $y(y + 8) = 9$. Отсюда $y^2 + 8y - 9 = 0$.

Воспользовавшись этим приёмом, решите уравнение:

а) $(12 - 3x)(18 - 3x) = -5;$

б) $(2x + 6)(5 - 2x) = 10$.

а) $(12 - 3x)(18 - 3x) = -5$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом замены переменной. В скобках есть общая часть $-3x$. Выберем одну из скобок в качестве новой переменной.

Пусть $y = 12 - 3x$.

Теперь выразим вторую скобку $(18 - 3x)$ через новую переменную $y$:

$18 - 3x = (12 - 3x) + 6 = y + 6$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$y(y + 6) = -5$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 + 6y = -5$

$y^2 + 6y + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Легко подобрать корни:

$y_1 = -1$ и $y_2 = -5$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Для $y_1 = -1$:

$12 - 3x = -1$

$-3x = -1 - 12$

$-3x = -13$

$x_1 = \frac{-13}{-3} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$

2. Для $y_2 = -5$:

$12 - 3x = -5$

$-3x = -5 - 12$

$-3x = -17$

$x_2 = \frac{-17}{-3} = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}$

Ответ: $4\frac{1}{3}$; $5\frac{2}{3}$.

б) $(2x + 6)(5 - 2x) = 10$

Чтобы применить метод замены, нужно привести выражения в скобках к похожему виду. Вынесем знак минус из второй скобки:

$(2x + 6)(-(2x - 5)) = 10$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$(2x + 6)(2x - 5) = -10$

Теперь введем замену. Пусть $y = 2x + 6$.

Выразим второй множитель $(2x - 5)$ через $y$:

$2x - 5 = (2x + 6) - 11 = y - 11$.

Подставим $y$ в преобразованное уравнение:

$y(y - 11) = -10$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$y^2 - 11y = -10$

$y^2 - 11y + 10 = 0$

Используем теорему Виета: сумма корней равна $11$, а их произведение равно $10$. Отсюда находим корни:

$y_1 = 1$ и $y_2 = 10$.

Выполним обратную замену для нахождения $x$.

1. Для $y_1 = 1$:

$2x + 6 = 1$

$2x = 1 - 6$

$2x = -5$

$x_1 = -\frac{5}{2} = -2,5$

2. Для $y_2 = 10$:

$2x + 6 = 10$

$2x = 10 - 6$

$2x = 4$

$x_2 = 2$

Ответ: $-2,5; 2$.