Страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сформулируйте теорему Виета и запишите формулы, выражающие связь между корнями и коэффициентами приведённого квадратного уравнения (фрагмент 1).

Проверьте, что уравнение $x^2 + 16x + 63 = 0$ имеет корни, и назовите их сумму и произведение.

Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения

Теорема Виета устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, которое имеет действительные корни $x_1$ и $x_2$, теорема формулируется следующим образом:

Сумма корней уравнения равна второму коэффициенту ($p$), взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену ($q$).

Формулы, выражающие эту связь:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Ответ: Сумма корней приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ равна $-p$, а их произведение равно $q$. Формулы: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.

Проверка уравнения $x^2 + 16x + 63 = 0$ и нахождение суммы и произведения его корней

Чтобы проверить, имеет ли уравнение $x^2 + 16x + 63 = 0$ корни, нужно вычислить его дискриминант ($D$). Общая формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ такова: $D = b^2 - 4ac$. Уравнение имеет действительные корни, если $D \ge 0$.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=16$, $c=63$.
Вычисляем дискриминант:
$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$.

Так как $D = 4 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь найдём сумму и произведение корней. Поскольку данное уравнение является приведённым ($a=1$), мы можем использовать теорему Виета. Здесь второй коэффициент $p = 16$, а свободный член $q = 63$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -16$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = 63$.

Ответ: Уравнение имеет корни. Сумма корней равна -16, произведение корней равно 63.