Номер 513, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 513, страница 149.

Условие.

513 Не решая уравнения, укажите, имеет ли оно корни и чему равны произведение и сумма его корней:

а) $x^2 - 14x + 40 = 0$;

г) $2x^2 - 5x - 3 = 0$;

б) $x^2 + 16x + 15 = 0$;

д) $4x^2 + 16x + 15 = 0$;

в) $x^2 - 2x - 1 = 0$;

е) $3x^2 + 11x - 4 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, имеет ли квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ корни, не решая его, нужно вычислить дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то уравнение имеет действительные корни. Если $D < 0$, то действительных корней нет. Если корни существуют, их сумму и произведение можно найти с помощью теоремы Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

а) Для уравнения $x^2 - 14x + 40 = 0$, определим сначала, есть ли у него корни. Для этого вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=-14, c=40$. $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Теперь, используя теорему Виета, найдем их сумму и произведение. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-14)/1 = 14$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 40/1 = 40$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна 14, произведение — 40.

б) Для уравнения $x^2 + 16x + 15 = 0$ (где $a=1, b=16, c=15$), вычислим дискриминант: $D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a = -16/1 = -16$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a = 15/1 = 15$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна -16, произведение — 15.

в) Для уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$ (где $a=1, b=-2, c=-1$), дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Сумма корней по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-2)/1 = 2$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -1/1 = -1$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна 2, произведение — -1.

г) Для уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$ (где $a=2, b=-5, c=-3$), дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Сумма корней по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-5)/2 = 5/2$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -3/2$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна $5/2$ (или 2,5), произведение — $-3/2$ (или -1,5).

д) Для уравнения $4x^2 + 16x + 15 = 0$ (где $a=4, b=16, c=15$), дискриминант $D = 16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 - 240 = 16$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Сумма корней по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b/a = -16/4 = -4$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 15/4$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна -4, произведение — $15/4$ (или 3,75).

е) Для уравнения $3x^2 + 11x - 4 = 0$ (где $a=3, b=11, c=-4$), дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Сумма корней по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b/a = -11/3$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -4/3$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна $-11/3$, произведение — $-4/3$.