Номер 3, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 149.

Условие.

Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета (фрагмент 2). Найдите подбором корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Решение 3.

Решение 4.

Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту $p$ приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену $q$, то эти числа являются корнями данного уравнения.

Иными словами, если для чисел $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства:

$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

то $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Ответ: Если для чисел $x_1$ и $x_2$ выполняются условия $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то они являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Найдите подбором корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$

Данное уравнение является приведённым квадратным уравнением вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициенты $p=2$ и $q=-15$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, мы ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются два условия:

1. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p = -2$.

2. Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q = -15$.

Начнем подбор с анализа второго условия. Нам нужно найти пары целых чисел, произведение которых равно $-15$. Так как произведение отрицательное, числа должны иметь разные знаки.

• Пара $1$ и $-15$. Проверим их сумму: $1 + (-15) = -14$. Не соответствует условию $x_1 + x_2 = -2$.
• Пара $-1$ и $15$. Проверим их сумму: $-1 + 15 = 14$. Не соответствует условию.
• Пара $3$ и $-5$. Проверим их сумму: $3 + (-5) = -2$. Это значение соответствует условию $x_1 + x_2 = -2$.
• Пара $-3$ и $5$. Проверим их сумму: $-3 + 5 = 2$. Не соответствует условию.

Таким образом, числа $3$ и $-5$ удовлетворяют обоим условиям. Следовательно, они являются корнями данного уравнения.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -5$.