Страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Расскажите, как составлена математическая модель ситуации, описанной в задаче примера 1. Какой из полученных корней уравнения не удовлетворяет условию задачи и почему?

Поскольку условие задачи из примера 1 не предоставлено, рассмотрим в качестве примера типичную задачу, приводящую к квадратному уравнению, у которого один из корней не соответствует условию.

Задача-пример: Катер прошел 18 км против течения реки и вернулся в пункт отправления, затратив на весь путь 3 часа. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Расскажите, как составлена математическая модель ситуации, описанной в задаче примера 1.

Математическая модель для решения данной задачи составляется в несколько этапов.

Этап 1: Введение переменной.
Основной неизвестной величиной является собственная скорость катера. Обозначим ее переменной $x$ (в км/ч). Исходя из физического смысла, скорость должна быть положительной. Кроме того, чтобы катер мог плыть против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения. Таким образом, мы получаем ограничение: $x > 3$.

Этап 2: Выражение зависимых величин.
Через введенную переменную $x$ выражаем скорости движения катера по течению и против течения:
- Скорость по течению: $(x + 3)$ км/ч.
- Скорость против течения: $(x - 3)$ км/ч.

Этап 3: Составление уравнения.
Используя формулу времени $t = S/v$, выразим время, затраченное на каждый участок пути:
- Время движения против течения: $t_1 = \frac{18}{x - 3}$ ч.
- Время движения по течению: $t_2 = \frac{18}{x + 3}$ ч.
По условию, общее время в пути составляет 3 часа. Следовательно, мы можем сложить два этих временных отрезка и приравнять к 3:
$\frac{18}{x - 3} + \frac{18}{x + 3} = 3$

Этап 4: Преобразование уравнения.
Полученное дробно-рациональное уравнение необходимо преобразовать в стандартное квадратное уравнение. Для этого сначала упростим его, разделив обе части на 3:
$\frac{6}{x - 3} + \frac{6}{x + 3} = 1$
Затем приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$:
$\frac{6(x + 3) + 6(x - 3)}{x^2 - 9} = 1$
$\frac{12x}{x^2 - 9} = 1$
При условии $x \neq \pm 3$, избавляемся от знаменателя:
$12x = x^2 - 9$
Переносим все члены в одну сторону и получаем итоговую математическую модель:
$x^2 - 12x - 9 = 0$

Ответ: Математическая модель составлена путем введения переменной для неизвестной скорости, выражения через нее временных интервалов движения и их суммирования в уравнение, основанное на общем времени пути. Полученное рациональное уравнение было преобразовано в квадратное уравнение $x^2 - 12x - 9 = 0$.

Какой из полученных корней уравнения не удовлетворяет условию задачи и почему?

Для ответа на этот вопрос нужно решить полученное квадратное уравнение $x^2 - 12x - 9 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 144 + 36 = 180$
$x = \frac{12 \pm \sqrt{180}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{36 \cdot 5}}{2} = \frac{12 \pm 6\sqrt{5}}{2} = 6 \pm 3\sqrt{5}$

Таким образом, уравнение имеет два корня:
$x_1 = 6 + 3\sqrt{5}$
$x_2 = 6 - 3\sqrt{5}$

Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие условиям задачи, а именно $x > 3$.
1. Проверим корень $x_1 = 6 + 3\sqrt{5}$. Поскольку $3\sqrt{5}$ — положительное число, то $6 + 3\sqrt{5} > 6$, следовательно, условие $x_1 > 3$ выполняется. Этот корень является решением задачи.
2. Проверим корень $x_2 = 6 - 3\sqrt{5}$. Оценим значение $3\sqrt{5}$. Так как $4 < 5 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что означает $2 < \sqrt{5} < 3$. Умножив на 3, получаем $6 < 3\sqrt{5} < 9$. Отсюда следует, что разность $6 - 3\sqrt{5}$ является отрицательным числом. Скорость катера не может быть отрицательной, поэтому этот корень не имеет физического смысла в контексте данной задачи.

Ответ: Корень $x = 6 - 3\sqrt{5}$ не удовлетворяет условию задачи, потому что он является отрицательным числом, в то время как скорость катера по своему физическому смыслу должна быть положительной величиной и, более того, превышать скорость течения реки.

Прочитайте задачу: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 29 см, а один его катет больше другого на 1 см. Найдите катеты треугольника».

Решите задачу по плану:

1) Введите неизвестное и составьте уравнение, используя теорему Пифагора.

2) Упростите составленное уравнение и решите его.

3) Исследуйте полученные решения, сделайте вывод и запишите ответ.

1) Введите неизвестное и составьте уравнение, используя теорему Пифагора.

Пусть длина меньшего катета прямоугольного треугольника равна $x$ см. По условию, другой катет на 1 см больше, следовательно, его длина равна $(x+1)$ см. Длина гипотенузы составляет 29 см.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставив известные значения, получим уравнение:

$x^2 + (x+1)^2 = 29^2$

Ответ: $x^2 + (x+1)^2 = 29^2$.

2) Упростите составленное уравнение и решите его.

Раскроем скобки в левой части уравнения и возведем в квадрат число в правой части:

$x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 841$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 + 2x + 1 - 841 = 0$

$2x^2 + 2x - 840 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 420 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Ответ: Корни уравнения: 20 и -21.

3) Исследуйте полученные решения, сделайте вывод и запишите ответ.

Мы получили два решения для $x$: 20 и -21. Переменная $x$ обозначает длину катета треугольника, а длина не может быть отрицательной величиной. Поэтому корень $x_2 = -21$ не соответствует условию задачи.

Единственным подходящим решением является $x_1 = 20$. Следовательно, длина меньшего катета равна 20 см.

Тогда длина большего катета равна $x + 1 = 20 + 1 = 21$ см.

Выполним проверку: $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$. Гипотенуза в квадрате: $29^2 = 841$. Равенство $841 = 841$ выполняется, значит, катеты найдены верно.

Ответ: Катеты треугольника равны 20 см и 21 см.