Страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Найдите в тексте учебника примеры квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом. Запишите формулу корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Примеры квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом

Квадратное уравнение в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c = 0$. Второй коэффициент — это $b$. Если он является чётным числом, то уравнение можно решать по упрощенной формуле. Поскольку в задании требуется найти примеры из учебника, а доступ к конкретному учебнику отсутствует, приведем несколько общих примеров таких уравнений:

1. Уравнение $x^2 + 8x + 15 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a=1$, $b=8$, $c=15$. Второй коэффициент $b=8$ является чётным числом.

2. Уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a=3$, $b=-10$, $c=3$. Второй коэффициент $b=-10$ является чётным числом.

3. Уравнение $5x^2 + 2x - 3 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a=5$, $b=2$, $c=-3$. Второй коэффициент $b=2$ является чётным числом.

Ответ: Примерами уравнений с четным вторым коэффициентом могут служить $x^2 + 8x + 15 = 0$ и $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Формула корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом

Для вывода этой формулы рассмотрим стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где второй коэффициент $b$ — чётное число.

1. Так как $b$ — чётное, его можно представить в виде $b = 2k$, где $k$ — это половина коэффициента $b$, то есть $k = \frac{b}{2}$.

2. Стандартная формула для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D$ выглядит так: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

3. Подставим $b=2k$ в формулу дискриминанта: $D = (2k)^2 - 4ac = 4k^2 - 4ac = 4(k^2 - ac)$.

4. Теперь подставим полученное выражение для $D$ и $b=2k$ в формулу корней: $x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ac)}}{2a}$

5. Упростим выражение, вынеся 2 из-под корня: $x_{1,2} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$

6. Сократим на 2 числитель и знаменатель дроби: $x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ac})}{2a} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

7. Часто выражение под корнем $k^2 - ac$ обозначают как $D_1$ или $\frac{D}{4}$ и называют "упрощенным" или "вторым" дискриминантом: $D_1 = k^2 - ac = (\frac{b}{2})^2 - ac$.

Таким образом, мы получаем итоговую формулу.

Ответ: Формула корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с чётным вторым коэффициентом $b$ имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$. Используя обозначение $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$, формулу можно записать как: $x_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{D_1}}{a}$.

Решите уравнение $3x^2 + 4x - 4 = 0$, используя сначала формулу корней квадратного уравнения с чётным коэффициентом, а потом общую формулу.

Решение по формуле для чётного второго коэффициента

Дано квадратное уравнение $3x^2 + 4x - 4 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 4$, $c = -4$.
Так как второй коэффициент $b = 4$ является чётным числом, мы можем использовать формулу для корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом. Для этого введем коэффициент $k$, равный половине второго коэффициента:
$k = \frac{b}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Формула для корней в этом случае выглядит так: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$.
Сначала вычислим дискриминант, делённый на 4 (обозначается $D_1$ или $D/4$):
$D_1 = k^2 - ac = 2^2 - 3 \cdot (-4) = 4 - (-12) = 4 + 12 = 16$.
Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Теперь подставим найденные значения в формулу для корней:
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{3} = \frac{-2 \pm 4}{3}$.
Находим каждый корень отдельно:
$x_1 = \frac{-2 + 4}{3} = \frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{-2 - 4}{3} = \frac{-6}{3} = -2$.
Ответ: $-2; \frac{2}{3}$.

Решение по общей формуле

Теперь решим то же уравнение $3x^2 + 4x - 4 = 0$ по общей формуле корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$.
Коэффициенты: $a = 3$, $b = 4$, $c = -4$.
Общая формула для корней: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Сначала вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 - (-48) = 16 + 48 = 64$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Теперь подставим значения в общую формулу для корней:
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 8}{6}$.
Находим каждый корень отдельно:
$x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
Как и ожидалось, результаты, полученные двумя способами, совпали.
Ответ: $-2; \frac{2}{3}$.