Страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Какое выражение называют дискриминантом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$? Каково происхождение термина «дискриминант» (найдите объяснение в тексте фрагмента 1)?

Какое выражение называют дискриминантом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$?

Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$, и $c$ являются числовыми коэффициентами (причем $a \neq 0$), а $x$ — переменная, дискриминантом называют специальное выражение, составленное из его коэффициентов. Дискриминант, который принято обозначать буквой $D$, вычисляется по следующей формуле:

$$D = b^2 - 4ac$$

Это выражение играет ключевую роль при нахождении корней уравнения, так как от его знака зависит, сколько действительных корней имеет уравнение.

Ответ: Дискриминантом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ называют выражение $b^2 - 4ac$.

Каково происхождение термина «дискриминант»?

Термин «дискриминант» происходит от латинского слова discriminans, которое является причастием от глагола discriminare, означающего «различать», «разделять», «отделять».

Это название точно отражает математическую функцию дискриминанта. Его значение позволяет «различать» (или, как говорят, дискриминировать) квадратные уравнения по количеству и типу их корней. В зависимости от знака дискриминанта $D$ возможны три различных случая для действительных корней:

1. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Если $D = 0$, уравнение имеет один-единственный действительный корень (также его называют корнем кратности 2 или двумя совпадающими корнями).

3. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней (его корни являются парой комплексно-сопряженных чисел).

Таким образом, дискриминант — это числовой показатель, который разделяет все множество квадратных уравнений на три непересекающихся класса по характеру их решений в поле действительных чисел.

Ответ: Термин «дискриминант» происходит от латинского слова discriminans («различающий»), так как его знак позволяет различать квадратные уравнения по количеству их действительных корней.

Сколько корней может иметь квадратное уравнение и как это зависит от дискриминанта? (Найдите эту информацию в тексте фрагмента 1.) Для каждого уравнения определите, имеет ли оно корни, и если имеет, то сколько:

а) $3x^2 + 2x - 1 = 0$

б) $2x^2 - 5x + 4 = 0$

в) $25x^2 + 10x + 1 = 0$

Количество корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ зависит от знака его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$ (дискриминант положителен), то уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$ (дискриминант равен нулю), то уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).
• Если $D < 0$ (дискриминант отрицателен), то уравнение не имеет действительных корней.

Определим, сколько корней имеет каждое из данных уравнений, вычислив для них дискриминант.

а) $3x^2 + 2x - 1 = 0$

Коэффициенты данного уравнения: $a = 3$, $b = 2$, $c = -1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 - (-12) = 4 + 12 = 16$.

Поскольку дискриминант $D = 16 > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: два корня.

б) $2x^2 - 5x + 4 = 0$

Коэффициенты данного уравнения: $a = 2$, $b = -5$, $c = 4$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7$.

Поскольку дискриминант $D = -7 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

в) $25x^2 + 10x + 1 = 0$

Коэффициенты данного уравнения: $a = 25$, $b = 10$, $c = 1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0$.

Поскольку дискриминант $D = 0$, уравнение имеет один корень.

Ответ: один корень.

Запишите формулу корней квадратного уравнения. Решите по формуле уравнение $3x^2 - 5x - 2 = 0$, пользуясь примером 1 как образцом.

Запишите формулу корней квадратного уравнения.
Квадратное уравнение имеет общий вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — коэффициенты, причем $a \neq 0$.
Корни такого уравнения находятся с помощью дискриминанта $D$.
1. Сначала вычисляется дискриминант по формуле: $D = b^2 - 4ac$.
2. Затем корни уравнения вычисляются по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

435 Вычислив дискриминант, определите, имеет ли уравнение корни и сколько:

а) $x^2 + 7x - 18 = 0;$

б) $a^2 + a + 6 = 0;$

в) $4x^2 - 4x + 1 = 0;$

г) $5y^2 - 3y + 2 = 0;$

д) $9x^2 + 12x + 4 = 0;$

е) $z^2 - z - 3 = 0.$

а) Для квадратного уравнения $x^2 + 7x - 18 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=7$, $c=-18$. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$. Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Ответ: два корня.

б) Для квадратного уравнения $a^2 + a + 6 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=1$, $c=6$. Вычислим дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$. Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: нет корней.

в) Для квадратного уравнения $4x^2 - 4x + 1 = 0$ коэффициенты равны $a=4$, $b=-4$, $c=1$. Вычислим дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$. Так как дискриминант $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Ответ: один корень.

г) Для квадратного уравнения $5y^2 - 3y + 2 = 0$ коэффициенты равны $a=5$, $b=-3$, $c=2$. Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 - 40 = -31$. Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: нет корней.

д) Для квадратного уравнения $9x^2 + 12x + 4 = 0$ коэффициенты равны $a=9$, $b=12$, $c=4$. Вычислим дискриминант: $D = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$. Так как дискриминант $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Ответ: один корень.

е) Для квадратного уравнения $z^2 - z - 3 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=-1$, $c=-3$. Вычислим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$. Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Ответ: два корня.