Номер 469, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 469, страница 137.

Условие.

469 Кусок стекла имеет форму квадрата. Когда от него отрезали полосу шириной 20 см, его площадь стала равна 3500 $\text{см}^2$. Найдите первоначальные размеры куска стекла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть сторона первоначального квадратного куска стекла равна $x$ см. Поскольку форма стекла — квадрат, его размеры составляют $x$ см на $x$ см.

Когда от куска отрезали полосу шириной 20 см, одна из сторон стала короче. Новая форма представляет собой прямоугольник с размерами $x$ см и $(x - 20)$ см.

Площадь этого прямоугольника вычисляется как произведение его сторон и, по условию задачи, равна 3500 см². Составим уравнение:

$x \cdot (x - 20) = 3500$

Для решения раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 20x = 3500$

$x^2 - 20x - 3500 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=1$, $b=-20$, $c=-3500$.

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 120}{2} = \frac{140}{2} = 70$

$x_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 120}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -50$ не имеет физического смысла и не является решением задачи.

Следовательно, первоначальная сторона квадратного куска стекла была равна 70 см.

Ответ: первоначальные размеры куска стекла — 70 см × 70 см.