Номер 443, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 443, страница 129.

Условие.

443 Подберите какое-нибудь значение $c$, при котором уравнение имеет корни, и значение $c$, при котором оно не имеет корней:

a) $x^2 - 3x + c = 0;$

б) $5x^2 - 2x + c = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи необходимо использовать понятие дискриминанта квадратного уравнения. Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным, то есть $D \geq 0$. Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней.

а) $x^2 - 3x + c = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=-3$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 9 - 4c$.

Чтобы уравнение имело корни, должно выполняться условие $D \geq 0$:
$9 - 4c \geq 0$
$9 \geq 4c$
$c \leq \frac{9}{4}$ или $c \leq 2.25$
Мы можем выбрать любое значение $c$, удовлетворяющее этому условию. Например, пусть $c = 2$. Тогда $D = 9 - 4(2) = 1 > 0$, и уравнение имеет два корня.

Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться условие $D < 0$:
$9 - 4c < 0$
$9 < 4c$
$c > \frac{9}{4}$ или $c > 2.25$
Мы можем выбрать любое значение $c$, удовлетворяющее этому условию. Например, пусть $c = 3$. Тогда $D = 9 - 4(3) = -3 < 0$, и уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение имеет корни, например, при $c=2$; уравнение не имеет корней, например, при $c=3$.

б) $5x^2 - 2x + c = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a=5$, $b=-2$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot c = 4 - 20c$.

Чтобы уравнение имело корни, должно выполняться условие $D \geq 0$:
$4 - 20c \geq 0$
$4 \geq 20c$
$c \leq \frac{4}{20}$ или $c \leq 0.2$
Мы можем выбрать любое значение $c$, удовлетворяющее этому условию. Например, пусть $c = 0$. Тогда $D = 4 - 20(0) = 4 > 0$, и уравнение имеет два корня.

Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться условие $D < 0$:
$4 - 20c < 0$
$4 < 20c$
$c > \frac{4}{20}$ или $c > 0.2$
Мы можем выбрать любое значение $c$, удовлетворяющее этому условию. Например, пусть $c = 1$. Тогда $D = 4 - 20(1) = -16 < 0$, и уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение имеет корни, например, при $c=0$; уравнение не имеет корней, например, при $c=1$.