Номер 441, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 441, страница 129.

Условие.

441 а) $x^2 - 2x - 1 = 0;$

б) $4x^2 - 8x - 1 = 0;$

в) $x^2 - 2x - 4 = 0;$

г) $2x^2 + 2x - 1 = 0;$

д) $x^2 - 6x + 6 = 0;$

е) $x^2 - 12x + 18 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 1 = 0$. Это приведённое квадратное уравнение, где коэффициенты $a=1$, $b=-2$, $c=-1$. Поскольку коэффициент $b$ является чётным числом, удобнее использовать формулу для корней через четверть дискриминанта $D_1$.
Вычислим $k = \frac{b}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Найдём четверть дискриминанта по формуле $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2$.
Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{2}}{1} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Ответ: $1 \pm \sqrt{2}$.

б) Решим квадратное уравнение $4x^2 - 8x - 1 = 0$. Коэффициенты: $a=4$, $b=-8$, $c=-1$. Коэффициент $b$ чётный.
Вычислим $k = \frac{b}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Найдём четверть дискриминанта $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{4}$.
Сократим числитель и знаменатель на 2:
$x_{1,2} = \frac{2(2 \pm \sqrt{5})}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$.

в) Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 4 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-4$. Коэффициент $b$ чётный.
Вычислим $k = \frac{b}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Найдём четверть дискриминанта $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-4) = 1 + 4 = 5$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{1} = 1 \pm \sqrt{5}$.
Ответ: $1 \pm \sqrt{5}$.

г) Решим квадратное уравнение $2x^2 + 2x - 1 = 0$. Коэффициенты: $a=2$, $b=2$, $c=-1$. Коэффициент $b$ чётный.
Вычислим $k = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Найдём четверть дискриминанта $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 1^2 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

д) Решим квадратное уравнение $x^2 - 6x + 6 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=6$. Коэффициент $b$ чётный.
Вычислим $k = \frac{b}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Найдём четверть дискриминанта $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-3)^2 - 1 \cdot 6 = 9 - 6 = 3$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{3}}{1} = 3 \pm \sqrt{3}$.
Ответ: $3 \pm \sqrt{3}$.

е) Решим квадратное уравнение $x^2 - 12x + 18 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-12$, $c=18$. Коэффициент $b$ чётный.
Вычислим $k = \frac{b}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
Найдём четверть дискриминанта $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-6)^2 - 1 \cdot 18 = 36 - 18 = 18$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{18}}{1} = 6 \pm \sqrt{9 \cdot 2} = 6 \pm 3\sqrt{2}$.
Ответ: $6 \pm 3\sqrt{2}$.