Номер 445, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 445, страница 130.

Условие.

445 Решите уравнение:

a) $2z^3 - z^2 - 10z = 0;$

б) $10x^4 + 3x^3 - 18x^2 = 0;$

в) $3y^4 - 6y^3 + 3y^2 = 0;$

г) $4u^3 - 12u^2 + 9u = 0.$

Подсказка. Левую часть уравнения разложите на множители.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $2z^3 - z^2 - 10z = 0$

Следуя подсказке, разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем общий множитель $z$ за скобки:

$z(2z^2 - z - 10) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

1) $z = 0$

2) $2z^2 - z - 10 = 0$

Решим второе уравнение, которое является квадратным. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a = 2$, $b = -1$, $c = -10$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Формула корней квадратного уравнения: $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$z_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

$z_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: $0$, $2.5$ и $-2$.

Ответ: $-2; 0; 2.5$

б) $10x^4 + 3x^3 - 18x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(10x^2 + 3x - 18) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $10x^2 + 3x - 18 = 0$

Решим второе квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Здесь $a = 10$, $b = 3$, $c = -18$.

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-18) = 9 + 720 = 729$

$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 27}{2 \cdot 10} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} = 1.2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 27}{2 \cdot 10} = \frac{-30}{20} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Корни исходного уравнения: $0$, $1.2$ и $-1.5$.

Ответ: $-1.5; 0; 1.2$

в) $3y^4 - 6y^3 + 3y^2 = 0$

Вынесем общий множитель $3y^2$ за скобки:

$3y^2(y^2 - 2y + 1) = 0$

Рассмотрим выражение в скобках. Это формула квадрата разности: $y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2$.

Тогда уравнение принимает вид:

$3y^2(y-1)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $3y^2 = 0 \implies y^2 = 0 \implies y = 0$.

2) $(y-1)^2 = 0 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1$.

Уравнение имеет два корня: $0$ и $1$.

Ответ: $0; 1$

г) $4u^3 - 12u^2 + 9u = 0$

Вынесем общий множитель $u$ за скобки:

$u(4u^2 - 12u + 9) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $4u^2 - 12u + 9 = (2u)^2 - 2 \cdot (2u) \cdot 3 + 3^2 = (2u - 3)^2$.

Уравнение можно переписать в виде:

$u(2u - 3)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $u = 0$.

2) $(2u - 3)^2 = 0 \implies 2u - 3 = 0 \implies 2u = 3 \implies u = \frac{3}{2} = 1.5$.

Уравнение имеет два корня: $0$ и $1.5$.

Ответ: $0; 1.5$