Страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

421 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

Выберите какое-нибудь литературное произведение, написанное в прозе, и определите частоту появления в этом произведении такой части речи, как определение.

Для этого откройте произведение на какой-нибудь странице, не содержащей заголовков, и подсчитайте общее количество слов, включая предлоги. Подсчитайте общее количество определений на этой странице. Заполните таблицу.

Страница: 1, 2, 3, 4, 5, Итого

Всего слов:

Всего определений:

Используя полученные данные, вычислите частоту появления определения в этом произведении.

Заполнение таблицы по результатам анализа текста

Для проведения эксперимента было выбрано прозаическое произведение — повесть А. С. Пушкина «Капитанская дочка». Были проанализированы 5 случайных отрывков текста (условных страниц), в которых подсчитывалось общее количество слов и количество определений (слов, отвечающих на вопросы какой?, чей? и т.д., в основном это прилагательные, местоимения-прилагательные, причастия, порядковые числительные).

Результаты подсчета сведены в таблицу:

Ответ: На основе анализа пяти отрывков из повести «Капитанская дочка» таблица была заполнена указанными данными: общее количество слов — 546, общее количество определений — 50.

Вычисление частоты появления определений

Для вычисления частоты появления определений в тексте необходимо использовать итоговые данные из таблицы. Частота ($F$) находится как отношение общего количества определений ($N_{опред}$) к общему количеству слов ($N_{слов}$).

Формула расчета имеет вид:

$F = \frac{N_{опред}}{N_{слов}}$

Подставляем итоговые значения:

$F = \frac{50}{546}$

Проводим вычисление:

$F \approx 0.091575...$

Результат можно округлить и представить в виде десятичной дроби или в процентах для наглядности.

$F \approx 0.092$

В процентах это составит:

$F_{\%} \approx 0.092 \times 100\% = 9.2\%$

Это означает, что в среднем примерно каждое одиннадцатое слово в тексте повести является определением.

Ответ: Частота появления определения в исследованном произведении составляет приблизительно $0.092$, или $9.2\%$.

422 a) Четыре друга по одному входят в автобус. Сколько существует различных вариантов очередности?

б) В студии танца занимаются 5 девочек и 4 мальчика. Сколькими способами можно составить пару из мальчика и девочки?

а) Эта задача заключается в нахождении количества перестановок для четырех друзей. Перестановка — это расположение объектов в определенном порядке. Количество всех возможных перестановок из $n$ различных объектов вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал).

В данном случае количество друзей $n = 4$.

На первое место в очереди может встать любой из 4 друзей.
На второе место — любой из 3 оставшихся.
На третье — один из 2 оставшихся.
На последнее, четвертое место, встанет последний оставшийся друг.

Чтобы найти общее число вариантов, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Таким образом, существует 24 различных варианта очередности.

Ответ: 24.

б) Для решения этой задачи используется комбинаторное правило произведения. Чтобы составить пару из мальчика и девочки, нужно независимо выбрать одного мальчика и одну девочку.

Количество способов выбрать одну девочку из 5 имеющихся равно 5.

Количество способов выбрать одного мальчика из 4 имеющихся равно 4.

Общее количество способов составить пару равно произведению числа способов выбора девочки на число способов выбора мальчика:

$N = 5 \times 4 = 20$

Следовательно, можно составить 20 различных пар.

Ответ: 20.

1 Запишите формулу для нахождения стороны $a$ квадрата по его площади $S$. Найдите $a$, если $S = 25; 36; 0,01$.

Площадь квадрата S со стороной a вычисляется по формуле $S = a^2$. Чтобы найти сторону квадрата a по его площади S, необходимо извлечь квадратный корень из площади. Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы рассматриваем только арифметический квадратный корень.

Таким образом, формула для нахождения стороны a квадрата по его площади S следующая:
$a = \sqrt{S}$

Теперь найдем сторону a для заданных значений площади S.

Если S = 25
Подставляем значение S в формулу:
$a = \sqrt{25} = 5$
Ответ: 5.

Если S = 36
Подставляем значение S в формулу:
$a = \sqrt{36} = 6$
Ответ: 6.

Если S = 0,01
Подставляем значение S в формулу:
$a = \sqrt{0,01} = 0,1$
Ответ: 0,1.

2 Существует ли рациональное число, квадрат которого равен 2?

К какому классу чисел относится число $ \sqrt{2} $? Закончите равенство $ (\sqrt{2})^2 = \dots $

Существует ли рациональное число, квадрат которого равен 2?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что такое рациональное число существует. Рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $m/n$, где $m$ – целое число, а $n$ – натуральное число. Несократимость дроби означает, что числа $m$ и $n$ не имеют общих делителей, кроме 1.

Итак, пусть существует такое число $x = m/n$, что $x^2 = 2$.
Тогда $(\frac{m}{n})^2 = 2$, что равносильно $\frac{m^2}{n^2} = 2$, или $m^2 = 2n^2$.

Из равенства $m^2 = 2n^2$ следует, что $m^2$ является четным числом (так как оно равно произведению 2 на целое число $n^2$). Если квадрат числа является четным, то и само число является четным (поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетен). Следовательно, число $m$ – четное.

Раз $m$ – четное число, его можно представить в виде $m = 2k$, где $k$ – некоторое целое число. Подставим это выражение в наше равенство $m^2 = 2n^2$:
$(2k)^2 = 2n^2$
$4k^2 = 2n^2$
$2k^2 = n^2$

Из последнего равенства следует, что $n^2$ также является четным числом. А значит, и само число $n$ – четное.

Мы получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ нашей дроби являются четными числами. Это означает, что у них есть общий делитель – 2. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $m/n$ является несократимой.

Следовательно, наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Нет, рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует.

К какому классу чисел относится число $\sqrt{2}$?

Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $m/n$, где $m$ – целое, а $n$ – натуральное, называются иррациональными. Как было доказано выше, число, квадрат которого равен 2 (то есть $\sqrt{2}$), не является рациональным. Следовательно, оно является иррациональным. Иррациональные числа, вместе с рациональными, образуют множество действительных (вещественных) чисел.

Ответ: Число $\sqrt{2}$ относится к классу иррациональных чисел.

Закончите равенство $(\sqrt{2})^2 = ...$

По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ (обозначается как $\sqrt{a}$) – это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. В нашем случае, $\sqrt{2}$ – это число, которое при возведении в квадрат дает 2.

Ответ: $(\sqrt{2})^2 = 2$.

3 Приведите примеры натуральных чисел, которые нельзя представить в виде квадрата рационального числа. Запишите число, квадрат которого равен 8; 10; 101. Запишите число, противоположное каждому из них.

Приведите примеры натуральных чисел, которые нельзя представить в виде квадрата рационального числа.
Натуральное число можно представить в виде квадрата рационального числа, то есть в виде $(\frac{p}{q})^2$, тогда и только тогда, когда оно само является полным квадратом целого числа (например, $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$ и т.д.). Если натуральное число не является полным квадратом, то квадратный корень из него является иррациональным числом, и такое число нельзя представить в виде квадрата рационального. Следовательно, в качестве примеров подойдут любые натуральные числа, которые не являются полными квадратами.
Ответ: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10.

Запишите число, квадрат которого равен 8; 10; 101.
Число, квадрат которого равен положительному числу $a$, — это квадратный корень из $a$. Для каждого такого $a$ существует два квадратных корня: положительный (арифметический) $\sqrt{a}$ и отрицательный $-\sqrt{a}$. В задаче обычно подразумевается арифметический корень.
Число, квадрат которого равен 8, это $\sqrt{8}$. Это иррациональное число можно упростить: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Число, квадрат которого равен 10, это $\sqrt{10}$.
Число, квадрат которого равен 101, это $\sqrt{101}$.
Ответ: $\sqrt{8}$ (или $2\sqrt{2}$), $\sqrt{10}$, $\sqrt{101}$.

Запишите число, противоположное каждому из них.
Противоположным для числа $a$ является число $-a$. Найдем числа, противоположные тем, что были найдены в предыдущем пункте ($\sqrt{8}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{101}$).
Число, противоположное $\sqrt{8}$, это $-\sqrt{8}$ (или $-2\sqrt{2}$).
Число, противоположное $\sqrt{10}$, это $-\sqrt{10}$.
Число, противоположное $\sqrt{101}$, это $-\sqrt{101}$.
Ответ: $-\sqrt{8}$ (или $-2\sqrt{2}$), $-\sqrt{10}$, $-\sqrt{101}$.

4 Покажите, как с помощью теоремы Пифагора построить отрезок, дли- на которого равна $\sqrt{2}$; $\sqrt{3}$; $\sqrt{5}$.

Для построения отрезков с иррациональными длинами используется теорема Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ выполняется равенство: $c^2 = a^2 + b^2$. Отсюда, длина гипотенузы равна $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Построив прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, мы можем получить отрезок (гипотенузу) длиной $\sqrt{a^2 + b^2}$. Для всех построений нам понадобится единичный отрезок (длиной 1), который мы можем задать произвольно.

$\sqrt{2}$

Чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{2}$, мы должны найти два числа, сумма квадратов которых равна 2. Самый простой случай: $2 = 1^2 + 1^2$. Это значит, что если мы построим прямоугольный треугольник с катетами, равными 1, то его гипотенуза будет иметь длину $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Алгоритм построения:

1. Задаем единичный отрезок (длиной 1).
2. Строим прямой угол. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр к любому отрезку.
3. От вершины прямого угла на его сторонах откладываем с помощью циркуля два отрезка, равных единичному.
4. Соединяем концы этих отрезков. Полученный отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1.

Длина этой гипотенузы будет равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: нужно построить прямоугольный треугольник с катетами длиной 1; его гипотенуза будет иметь длину $\sqrt{2}$.

$\sqrt{3}$

Чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{3}$, представим число 3 как сумму квадратов. Мы можем использовать уже построенный отрезок длиной $\sqrt{2}$. Тогда $3 = (\sqrt{2})^2 + 1^2$. Это означает, что мы можем построить новый прямоугольный треугольник, у которого один катет равен $\sqrt{2}$, а другой катет равен 1. Гипотенуза такого треугольника будет иметь длину $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.

Алгоритм построения:

1. Берем отрезок длиной $\sqrt{2}$, построенный на предыдущем шаге.
2. В одном из его концов строим перпендикуляр к этому отрезку.
3. На перпендикуляре откладываем единичный отрезок (длиной 1).
4. Соединяем свободные концы отрезков. Полученный отрезок является гипотенузой нового прямоугольного треугольника с катетами $\sqrt{2}$ и 1.

Длина этой гипотенузы будет равна $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Ответ: нужно построить прямоугольный треугольник с катетами длиной $\sqrt{2}$ и 1; его гипотенуза будет иметь длину $\sqrt{3}$.

$\sqrt{5}$

Чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{5}$, представим число 5 как сумму квадратов. Здесь подходят целые числа: $5 = 2^2 + 1^2$. Следовательно, мы можем построить прямоугольный треугольник с катетами длиной 2 и 1. Его гипотенуза будет равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Алгоритм построения:

1. Задаем единичный отрезок. Отрезок длиной 2 можно построить, отложив единичный отрезок дважды на одной прямой.
2. Строим прямой угол.
3. От вершины прямого угла на одной его стороне откладываем отрезок длиной 2, а на другой стороне — отрезок длиной 1.
4. Соединяем концы этих отрезков. Полученный отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1.

Длина этой гипотенузы будет равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.

Ответ: нужно построить прямоугольный треугольник с катетами длиной 2 и 1; его гипотенуза будет иметь длину $\sqrt{5}$.

5. Дайте определение квадратного корня. Приведите примеры. Сколько существует квадратных корней из положительного числа $a$? Как они обозначаются? Существует ли квадратный корень из отрицательного числа? Какой квадратный корень называют арифметическим?

Дайте определение квадратного корня. Приведите примеры.

Квадратным корнем из числа $a$ называется такое число $x$, квадрат которого равен $a$. Математически это записывается как $x^2 = a$.

Примеры:

• Квадратными корнями из числа 49 являются числа 7 и -7, потому что $7^2 = 49$ и $(-7)^2 = 49$.
• Квадратными корнями из числа 1,21 являются числа 1,1 и -1,1, потому что $(1,1)^2 = 1,21$ и $(-1,1)^2 = 1,21$.
• Квадратным корнем из числа 0 является число 0, потому что $0^2 = 0$.

Ответ: Квадратный корень из числа $a$ – это число, которое при возведении в квадрат дает $a$. Например, квадратными корнями из 49 являются числа 7 и -7.

Сколько существует квадратных корней из положительного числа a? Как они обозначаются?

Из любого положительного числа $a$ (то есть, $a > 0$) существует ровно два квадратных корня. Эти корни являются противоположными числами: они равны по модулю, но имеют разные знаки.

Они обозначаются следующим образом:

• Положительный корень обозначается с помощью знака радикала (корня) $\sqrt{a}$. Этот корень также называют арифметическим квадратным корнем.
• Отрицательный корень обозначается как $-\sqrt{a}$.

Например, для числа $a = 36$, два квадратных корня – это $\sqrt{36} = 6$ и $-\sqrt{36} = -6$.

Ответ: Из положительного числа $a$ существует два квадратных корня. Они обозначаются как $\sqrt{a}$ (положительный корень) и $-\sqrt{a}$ (отрицательный корень).

Существует ли квадратный корень из отрицательного числа?

В множестве действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не существует. Это связано с тем, что квадрат любого действительного числа (будь оно положительным, отрицательным или нулём) всегда является неотрицательным числом. То есть, не существует такого действительного числа $x$, для которого выполнялось бы равенство $x^2 = a$, если $a < 0$.

Например, невозможно найти такое действительное число $x$, чтобы $x^2 = -4$.

Ответ: В области действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Какой квадратный корень называют арифметическим?

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ (то есть $a \ge 0$) называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Таким образом, выражение $\sqrt{a}$ (которое читается "арифметический квадратный корень из а") имеет два ключевых свойства:

1. Оно определено только для $a \ge 0$.
2. Его значение всегда неотрицательно: $\sqrt{a} \ge 0$.

Например, $\sqrt{25} = 5$. Число -5, хотя и является квадратным корнем из 25 (так как $(-5)^2 = 25$), не является арифметическим квадратным корнем, поскольку оно отрицательное.

Ответ: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.