Номер 4, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 2. Квадратные корни - номер 4, страница 115.

Условие.

4 Покажите, как с помощью теоремы Пифагора построить отрезок, дли- на которого равна $\sqrt{2}$; $\sqrt{3}$; $\sqrt{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для построения отрезков с иррациональными длинами используется теорема Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ выполняется равенство: $c^2 = a^2 + b^2$. Отсюда, длина гипотенузы равна $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Построив прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, мы можем получить отрезок (гипотенузу) длиной $\sqrt{a^2 + b^2}$. Для всех построений нам понадобится единичный отрезок (длиной 1), который мы можем задать произвольно.

$\sqrt{2}$

Чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{2}$, мы должны найти два числа, сумма квадратов которых равна 2. Самый простой случай: $2 = 1^2 + 1^2$. Это значит, что если мы построим прямоугольный треугольник с катетами, равными 1, то его гипотенуза будет иметь длину $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Алгоритм построения:

1. Задаем единичный отрезок (длиной 1).
2. Строим прямой угол. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр к любому отрезку.
3. От вершины прямого угла на его сторонах откладываем с помощью циркуля два отрезка, равных единичному.
4. Соединяем концы этих отрезков. Полученный отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1.

Длина этой гипотенузы будет равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: нужно построить прямоугольный треугольник с катетами длиной 1; его гипотенуза будет иметь длину $\sqrt{2}$.

$\sqrt{3}$

Чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{3}$, представим число 3 как сумму квадратов. Мы можем использовать уже построенный отрезок длиной $\sqrt{2}$. Тогда $3 = (\sqrt{2})^2 + 1^2$. Это означает, что мы можем построить новый прямоугольный треугольник, у которого один катет равен $\sqrt{2}$, а другой катет равен 1. Гипотенуза такого треугольника будет иметь длину $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.

Алгоритм построения:

1. Берем отрезок длиной $\sqrt{2}$, построенный на предыдущем шаге.
2. В одном из его концов строим перпендикуляр к этому отрезку.
3. На перпендикуляре откладываем единичный отрезок (длиной 1).
4. Соединяем свободные концы отрезков. Полученный отрезок является гипотенузой нового прямоугольного треугольника с катетами $\sqrt{2}$ и 1.

Длина этой гипотенузы будет равна $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Ответ: нужно построить прямоугольный треугольник с катетами длиной $\sqrt{2}$ и 1; его гипотенуза будет иметь длину $\sqrt{3}$.

$\sqrt{5}$

Чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{5}$, представим число 5 как сумму квадратов. Здесь подходят целые числа: $5 = 2^2 + 1^2$. Следовательно, мы можем построить прямоугольный треугольник с катетами длиной 2 и 1. Его гипотенуза будет равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Алгоритм построения:

1. Задаем единичный отрезок. Отрезок длиной 2 можно построить, отложив единичный отрезок дважды на одной прямой.
2. Строим прямой угол.
3. От вершины прямого угла на одной его стороне откладываем отрезок длиной 2, а на другой стороне — отрезок длиной 1.
4. Соединяем концы этих отрезков. Полученный отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1.

Длина этой гипотенузы будет равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.

Ответ: нужно построить прямоугольный треугольник с катетами длиной 2 и 1; его гипотенуза будет иметь длину $\sqrt{5}$.