Номер 5, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 2. Квадратные корни - номер 5, страница 115.

Условие.

5. Дайте определение квадратного корня. Приведите примеры. Сколько существует квадратных корней из положительного числа $a$? Как они обозначаются? Существует ли квадратный корень из отрицательного числа? Какой квадратный корень называют арифметическим?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дайте определение квадратного корня. Приведите примеры.

Квадратным корнем из числа $a$ называется такое число $x$, квадрат которого равен $a$. Математически это записывается как $x^2 = a$.

Примеры:

• Квадратными корнями из числа 49 являются числа 7 и -7, потому что $7^2 = 49$ и $(-7)^2 = 49$.
• Квадратными корнями из числа 1,21 являются числа 1,1 и -1,1, потому что $(1,1)^2 = 1,21$ и $(-1,1)^2 = 1,21$.
• Квадратным корнем из числа 0 является число 0, потому что $0^2 = 0$.

Ответ: Квадратный корень из числа $a$ – это число, которое при возведении в квадрат дает $a$. Например, квадратными корнями из 49 являются числа 7 и -7.

---

Сколько существует квадратных корней из положительного числа a? Как они обозначаются?

Из любого положительного числа $a$ (то есть, $a > 0$) существует ровно два квадратных корня. Эти корни являются противоположными числами: они равны по модулю, но имеют разные знаки.

Они обозначаются следующим образом:

• Положительный корень обозначается с помощью знака радикала (корня) $\sqrt{a}$. Этот корень также называют арифметическим квадратным корнем.
• Отрицательный корень обозначается как $-\sqrt{a}$.

Например, для числа $a = 36$, два квадратных корня – это $\sqrt{36} = 6$ и $-\sqrt{36} = -6$.

Ответ: Из положительного числа $a$ существует два квадратных корня. Они обозначаются как $\sqrt{a}$ (положительный корень) и $-\sqrt{a}$ (отрицательный корень).

---

Существует ли квадратный корень из отрицательного числа?

В множестве действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не существует. Это связано с тем, что квадрат любого действительного числа (будь оно положительным, отрицательным или нулём) всегда является неотрицательным числом. То есть, не существует такого действительного числа $x$, для которого выполнялось бы равенство $x^2 = a$, если $a < 0$.

Например, невозможно найти такое действительное число $x$, чтобы $x^2 = -4$.

Ответ: В области действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не существует.

---

Какой квадратный корень называют арифметическим?

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ (то есть $a \ge 0$) называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Таким образом, выражение $\sqrt{a}$ (которое читается "арифметический квадратный корень из а") имеет два ключевых свойства:

1. Оно определено только для $a \ge 0$.
2. Его значение всегда неотрицательно: $\sqrt{a} \ge 0$.

Например, $\sqrt{25} = 5$. Число -5, хотя и является квадратным корнем из 25 (так как $(-5)^2 = 25$), не является арифметическим квадратным корнем, поскольку оно отрицательное.

Ответ: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.