Номер 2, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 115.

Условие.

2 Существует ли рациональное число, квадрат которого равен 2?

К какому классу чисел относится число $ \sqrt{2} $? Закончите равенство $ (\sqrt{2})^2 = \dots $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Существует ли рациональное число, квадрат которого равен 2?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что такое рациональное число существует. Рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $m/n$, где $m$ – целое число, а $n$ – натуральное число. Несократимость дроби означает, что числа $m$ и $n$ не имеют общих делителей, кроме 1.

Итак, пусть существует такое число $x = m/n$, что $x^2 = 2$.
Тогда $(\frac{m}{n})^2 = 2$, что равносильно $\frac{m^2}{n^2} = 2$, или $m^2 = 2n^2$.

Из равенства $m^2 = 2n^2$ следует, что $m^2$ является четным числом (так как оно равно произведению 2 на целое число $n^2$). Если квадрат числа является четным, то и само число является четным (поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетен). Следовательно, число $m$ – четное.

Раз $m$ – четное число, его можно представить в виде $m = 2k$, где $k$ – некоторое целое число. Подставим это выражение в наше равенство $m^2 = 2n^2$:
$(2k)^2 = 2n^2$
$4k^2 = 2n^2$
$2k^2 = n^2$

Из последнего равенства следует, что $n^2$ также является четным числом. А значит, и само число $n$ – четное.

Мы получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ нашей дроби являются четными числами. Это означает, что у них есть общий делитель – 2. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $m/n$ является несократимой.

Следовательно, наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Нет, рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует.

К какому классу чисел относится число $\sqrt{2}$?

Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $m/n$, где $m$ – целое, а $n$ – натуральное, называются иррациональными. Как было доказано выше, число, квадрат которого равен 2 (то есть $\sqrt{2}$), не является рациональным. Следовательно, оно является иррациональным. Иррациональные числа, вместе с рациональными, образуют множество действительных (вещественных) чисел.

Ответ: Число $\sqrt{2}$ относится к классу иррациональных чисел.

Закончите равенство $(\sqrt{2})^2 = ...$

По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ (обозначается как $\sqrt{a}$) – это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. В нашем случае, $\sqrt{2}$ – это число, которое при возведении в квадрат дает 2.

Ответ: $(\sqrt{2})^2 = 2$.