Номер 418, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 2. Квадратные корни - номер 418, страница 113.

Условие.

418 a) $ \frac{2 - 3\sqrt{a} + a}{6 - 3\sqrt{a}} $;

б) $ \frac{3 - 2\sqrt{x} - x}{9 + 3\sqrt{x}} $.

Указание. a) Введите замену $y = \sqrt{a}$ и выполните разложение на множители.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Упростим выражение $\frac{2-3\sqrt{a}+a}{6-3\sqrt{a}}$.

Следуя указанию, введем замену $y = \sqrt{a}$. Отсюда следует, что $a = y^2$. Подставим новую переменную в исходное выражение:

$\frac{2-3y+y^2}{6-3y}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $y^2 - 3y + 2$ является квадратным трехчленом. Найдем его корни, решив уравнение $y^2 - 3y + 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $y_1 = 1$ и $y_2 = 2$. Таким образом, разложение на множители имеет вид $(y-1)(y-2)$.

В знаменателе $6-3y$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(2-y)$. Это выражение можно переписать как $-3(y-2)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(y-1)(y-2)}{-3(y-2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-2)$. Это возможно при условии $y-2 \neq 0$, то есть $y \neq 2$ или $\sqrt{a} \neq 2$, что означает $a \neq 4$. Это условие совпадает с областью определения исходного выражения, так как знаменатель $6-3\sqrt{a}$ не должен быть равен нулю.

После сокращения получаем:

$\frac{y-1}{-3} = -\frac{y-1}{3} = \frac{1-y}{3}$

Выполним обратную замену, подставив $y = \sqrt{a}$:

$\frac{1-\sqrt{a}}{3}$

Ответ: $\frac{1-\sqrt{a}}{3}$

б)

Упростим выражение $\frac{3-2\sqrt{x}-x}{9+3\sqrt{x}}$.

По аналогии с предыдущим заданием, введем замену. Пусть $z = \sqrt{x}$, тогда $x = z^2$. Подставим новую переменную в выражение:

$\frac{3-2z-z^2}{9+3z}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $3-2z-z^2$ можно переписать как $-(z^2+2z-3)$. Найдем корни квадратного трехчлена $z^2+2z-3=0$. По теореме Виета, корни равны $z_1 = 1$ и $z_2 = -3$. Значит, $z^2+2z-3 = (z-1)(z+3)$. Таким образом, числитель равен $-(z-1)(z+3)$, что можно записать как $(1-z)(z+3)$.

В знаменателе $9+3z$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(3+z)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(1-z)(z+3)}{3(z+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(z+3)$. Так как по определению $z = \sqrt{x}$, то $z \ge 0$, следовательно, выражение $z+3$ всегда положительно и не равно нулю. Сокращение является корректным.

После сокращения получаем:

$\frac{1-z}{3}$

Выполним обратную замену, подставив $z = \sqrt{x}$:

$\frac{1-\sqrt{x}}{3}$

Ответ: $\frac{1-\sqrt{x}}{3}$