Номер 415, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 2. Квадратные корни - номер 415, страница 113.

Условие.

415 Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

a) $\frac{\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}}$;

б) $\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}-6}$;

в) $\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}$;

г) $\frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $ 5+3\sqrt{3} $ является $ 5-3\sqrt{3} $.

$ \frac{\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(5-3\sqrt{3})}{(5+3\sqrt{3})(5-3\sqrt{3})} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \sqrt{3}(5-3\sqrt{3}) = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} - 3 \cdot 3 = 5\sqrt{3} - 9 $

В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $:

$ (5+3\sqrt{3})(5-3\sqrt{3}) = 5^2 - (3\sqrt{3})^2 = 25 - (9 \cdot 3) = 25 - 27 = -2 $

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{5\sqrt{3} - 9}{-2} = \frac{-(9 - 5\sqrt{3})}{-2} = \frac{9 - 5\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{9 - 5\sqrt{3}}{2} $

б) Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}-6} $ на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $ 5\sqrt{2}+6 $.

$ \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}-6} = \frac{\sqrt{2}(5\sqrt{2}+6)}{(5\sqrt{2}-6)(5\sqrt{2}+6)} $

Упростим числитель:

$ \sqrt{2}(5\sqrt{2}+6) = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 5 \cdot 2 + 6\sqrt{2} = 10 + 6\sqrt{2} $

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов:

$ (5\sqrt{2}-6)(5\sqrt{2}+6) = (5\sqrt{2})^2 - 6^2 = (25 \cdot 2) - 36 = 50 - 36 = 14 $

Получаем дробь:

$ \frac{10 + 6\sqrt{2}}{14} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2(5 + 3\sqrt{2})}{14} = \frac{5 + 3\sqrt{2}}{7} $

Ответ: $ \frac{5 + 3\sqrt{2}}{7} $

в) Для дроби $ \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2} $ сопряженным выражением к знаменателю $ \sqrt{7}-2 $ является $ \sqrt{7}+2 $. Умножим на него числитель и знаменатель.

$ \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2} = \frac{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{(\sqrt{7}+2)^2}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} $

В числителе используем формулу квадрата суммы $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $:

$ (\sqrt{7}+2)^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 + 4\sqrt{7} + 4 = 11 + 4\sqrt{7} $

В знаменателе получаем:

$ (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3 $

В результате получаем:

$ \frac{11 + 4\sqrt{7}}{3} $

Ответ: $ \frac{11 + 4\sqrt{7}}{3} $

г) Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{10}-3\sqrt{2} $.

$ \frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{10}-3\sqrt{2})(\sqrt{10}-3\sqrt{2})}{(\sqrt{10}+3\sqrt{2})(\sqrt{10}-3\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{10}-3\sqrt{2})^2}{(\sqrt{10})^2 - (3\sqrt{2})^2} $

Раскроем числитель по формуле квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $:

$ (\sqrt{10}-3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 10 - 6\sqrt{20} + 9 \cdot 2 $

Упростим корень $ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $:

$ 10 - 6 \cdot (2\sqrt{5}) + 18 = 10 - 12\sqrt{5} + 18 = 28 - 12\sqrt{5} $

Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{10})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 10 - (9 \cdot 2) = 10 - 18 = -8 $

Подставим полученные значения:

$ \frac{28 - 12\sqrt{5}}{-8} = \frac{-(12\sqrt{5} - 28)}{8} = \frac{12\sqrt{5} - 28}{8} $

Вынесем общий множитель 4 в числителе и сократим дробь:

$ \frac{4(3\sqrt{5} - 7)}{8} = \frac{3\sqrt{5} - 7}{2} $

Ответ: $ \frac{3\sqrt{5} - 7}{2} $