Номер 416, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 2. Квадратные корни. Дополнительные задания - номер 416, страница 113.

Условие.

416 Упростите выражение:

а) $\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{6}};$

б) $\sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}\left(\frac{2+\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}} - 2 - \sqrt{7}\right);$

в) $\left(\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \sqrt{10}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\right);$

г) $\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3\sqrt{3}+\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{6}}$

Чтобы упростить это выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей $(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для вычисления знаменателя:

$(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6}) = 3^2 - (\sqrt{6})^2 = 9 - 6 = 3$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{6})}{3} - \frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{6})}{3} = \frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{6}) - \sqrt{2}(3-\sqrt{6})}{3}$.

Раскроем скобки в числителе:

$3\sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 6} - (3\sqrt{2} - \sqrt{2 \cdot 6}) = 3\sqrt{3} + \sqrt{18} - 3\sqrt{2} + \sqrt{12}$.

Упростим корни: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ и $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Подставим упрощенные значения в числитель и приведем подобные слагаемые:

$3\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = (3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) + (3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) = 5\sqrt{3}$.

В результате получаем:

$\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

б) $\sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}} \left( \frac{2+\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}} - 2 - \sqrt{7} \right)$

Сначала упростим выражение в больших скобках. Для этого приведем все его члены к общему знаменателю $2-\sqrt{7}$:

$\frac{2+\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}} - 2 - \sqrt{7} = \frac{2+\sqrt{7} - 2(2-\sqrt{7}) - \sqrt{7}(2-\sqrt{7})}{2-\sqrt{7}}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{2+\sqrt{7} - 4 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2}{2-\sqrt{7}} = \frac{2+\sqrt{7} - 4 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} + 7}{2-\sqrt{7}}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2-4+7) + (\sqrt{7}+2\sqrt{7}-2\sqrt{7})}{2-\sqrt{7}} = \frac{5+\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}} \cdot \frac{5+\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}}$.

Перемножим дроби. Знаменатель произведения равен $(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7}) = 2^2 - (\sqrt{7})^2 = 4-7 = -3$.

Числитель произведения равен $\sqrt{7}(5+\sqrt{7}) = 5\sqrt{7} + 7$.

Выражение принимает вид:

$\sqrt{7} + \frac{5\sqrt{7}+7}{-3} = \sqrt{7} - \frac{5\sqrt{7}+7}{3}$.

Приведем к общему знаменателю 3:

$\frac{3\sqrt{7}}{3} - \frac{5\sqrt{7}+7}{3} = \frac{3\sqrt{7} - (5\sqrt{7}+7)}{3} = \frac{3\sqrt{7} - 5\sqrt{7} - 7}{3} = \frac{-2\sqrt{7}-7}{3}$.

Ответ: $\frac{-7-2\sqrt{7}}{3}$.

в) $\left( \frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \sqrt{10} \right) \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right)$

Упростим выражение в каждой из скобок по отдельности.

Начнем со второй скобки, приведя дроби к общему знаменателю $\sqrt{2}\sqrt{5}=\sqrt{10}$:

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2}{\sqrt{10}} = \frac{5+2}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}$.

Теперь упростим первую скобку, приведя слагаемые к общему знаменателю $\sqrt{5}+\sqrt{2}$:

$\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2} + \sqrt{10}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2} + \sqrt{50} + \sqrt{20}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$.

Упростим корни: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ и $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Подставим в числитель: $\sqrt{5}-5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

Таким образом, первая скобка равна $\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \cdot \frac{7}{\sqrt{10}} = \frac{21\sqrt{5}}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})\sqrt{10}} = \frac{21\sqrt{5}}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})\sqrt{5}\sqrt{2}} = \frac{21}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})\sqrt{2}} = \frac{21}{\sqrt{10}+2}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{10}-2$:

$\frac{21(\sqrt{10}-2)}{(\sqrt{10}+2)(\sqrt{10}-2)} = \frac{21(\sqrt{10}-2)}{(\sqrt{10})^2-2^2} = \frac{21(\sqrt{10}-2)}{10-4} = \frac{21(\sqrt{10}-2)}{6}$.

Сократим дробь на 3: $\frac{7(\sqrt{10}-2)}{2}$.

Ответ: $\frac{7(\sqrt{10}-2)}{2}$.

г) $\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3\sqrt{3}+\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению знаменателей $(3\sqrt{3}+\sqrt{5})(3\sqrt{3}-\sqrt{5})$.

Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(3\sqrt{3}+\sqrt{5})(3\sqrt{3}-\sqrt{5}) = (3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 3 - 5 = 27 - 5 = 22$.

Выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$\frac{(3\sqrt{3}-\sqrt{5})^2 - (3\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}{22}$.

Для упрощения числителя воспользуемся тождеством $(a-b)^2 - (a+b)^2 = -4ab$.

В данном случае $a = 3\sqrt{3}$ и $b = \sqrt{5}$.

Тогда числитель равен:

$-4 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5}) = -12\sqrt{3 \cdot 5} = -12\sqrt{15}$.

Подставим полученное значение числителя в выражение:

$\frac{-12\sqrt{15}}{22}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{6\sqrt{15}}{11}$.

Ответ: $-\frac{6\sqrt{15}}{11}$.