Номер 414, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 2. Квадратные корни - номер 414, страница 113.

Условие.

414 Верно ли, что:

a) $(3\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 6\sqrt{6} = 21;$

б) $(2\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 + \sqrt{160} = 22;$

в) $4\sqrt{3} - (2\sqrt{3} + 1)^2 = -13;$

г) $55 - (5\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 = 10\sqrt{10}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Проверим равенство $(3\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 6\sqrt{6} = 21$.
Для этого преобразуем левую часть равенства. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 3\sqrt{2}$ и $b = \sqrt{3}$.
$(3\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 2 + 6\sqrt{6} + 3 = 18 + 6\sqrt{6} + 3 = 21 + 6\sqrt{6}$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное равенство:
$(21 + 6\sqrt{6}) - 6\sqrt{6} = 21$.
Приводим подобные слагаемые:
$21 + 6\sqrt{6} - 6\sqrt{6} = 21$.
$21 = 21$.
Так как левая часть равна правой, равенство верно.
Ответ: Верно.

б) Проверим равенство $(2\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 + \sqrt{160} = 22$.
Преобразуем левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2\sqrt{5}$ и $b = \sqrt{2}$.
$(2\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 5 - 4\sqrt{10} + 2 = 20 - 4\sqrt{10} + 2 = 22 - 4\sqrt{10}$.
Упростим корень $\sqrt{160}$:
$\sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10} = 4\sqrt{10}$.
Подставим полученные выражения в исходное равенство:
$(22 - 4\sqrt{10}) + 4\sqrt{10} = 22$.
Приводим подобные слагаемые:
$22 - 4\sqrt{10} + 4\sqrt{10} = 22$.
$22 = 22$.
Равенство верно.
Ответ: Верно.

в) Проверим равенство $4\sqrt{3} - (2\sqrt{3} + 1)^2 = -13$.
Преобразуем левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 1$.
$(2\sqrt{3} + 1)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 4 \cdot 3 + 4\sqrt{3} + 1 = 12 + 4\sqrt{3} + 1 = 13 + 4\sqrt{3}$.
Подставим полученное выражение в исходное равенство:
$4\sqrt{3} - (13 + 4\sqrt{3}) = -13$.
Раскроем скобки:
$4\sqrt{3} - 13 - 4\sqrt{3} = -13$.
Приводим подобные слагаемые:
$-13 = -13$.
Равенство верно.
Ответ: Верно.

г) Проверим равенство $55 - (5\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 = 10\sqrt{10}$.
Преобразуем левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 5\sqrt{2}$ и $b = \sqrt{5}$.
$(5\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 = (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 25 \cdot 2 - 10\sqrt{10} + 5 = 50 - 10\sqrt{10} + 5 = 55 - 10\sqrt{10}$.
Подставим полученное выражение в исходное равенство:
$55 - (55 - 10\sqrt{10}) = 10\sqrt{10}$.
Раскроем скобки:
$55 - 55 + 10\sqrt{10} = 10\sqrt{10}$.
Приводим подобные слагаемые:
$10\sqrt{10} = 10\sqrt{10}$.
Равенство верно.
Ответ: Верно.