Страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

412 Найдите значение выражения при $a = 0,01$ и $b = 0,25$:

а) $a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$;

б) $\frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{ab}};$

В) $(10\sqrt{a})^2 - (4\sqrt{b})^2$;

Г) $\sqrt{\frac{b}{a}} - \sqrt{1 - \frac{b - a}{b}}$.

а) Подставим значения $a = 0,01$ и $b = 0,25$ в выражение $a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$.
Сначала найдем значения квадратных корней: $\sqrt{a} = \sqrt{0,01} = 0,1$ и $\sqrt{b} = \sqrt{0,25} = 0,5$.
Теперь выполним вычисление:$a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = 0,01 \cdot 0,5 + 0,25 \cdot 0,1 = 0,005 + 0,025 = 0,03$.
Ответ: 0,03.

б) Сначала упростим выражение $\frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$, разделив числитель почленно на знаменатель:$\frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}}$.
Теперь подставим значения $\sqrt{a} = \sqrt{0,01} = 0,1$ и $\sqrt{b} = \sqrt{0,25} = 0,5$:$\frac{1}{0,1} - \frac{1}{0,5} = 10 - 2 = 8$.
Ответ: 8.

в) Упростим выражение $(10\sqrt{a})^2 - (4\sqrt{b})^2$, используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$ и определение квадратного корня $(\sqrt{x})^2 = x$ (при $x \ge 0$):$(10\sqrt{a})^2 - (4\sqrt{b})^2 = 10^2(\sqrt{a})^2 - 4^2(\sqrt{b})^2 = 100a - 16b$.
Подставим значения $a = 0,01$ и $b = 0,25$:$100 \cdot 0,01 - 16 \cdot 0,25 = 1 - 4 = -3$.
Ответ: -3.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{b}{a}} - \sqrt{1 - \frac{b-a}{b}}$.
Сначала упростим второй член выражения, приведя выражение под корнем к общему знаменателю:$\sqrt{1 - \frac{b-a}{b}} = \sqrt{\frac{b}{b} - \frac{b-a}{b}} = \sqrt{\frac{b - (b-a)}{b}} = \sqrt{\frac{b - b + a}{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
Тогда исходное выражение примет вид: $\sqrt{\frac{b}{a}} - \sqrt{\frac{a}{b}}$.
Подставим значения $a = 0,01$ и $b = 0,25$:$\sqrt{\frac{0,25}{0,01}} - \sqrt{\frac{0,01}{0,25}} = \sqrt{25} - \sqrt{0,04} = 5 - 0,2 = 4,8$.
Ответ: 4,8.

413 Докажите, что:

а) $2\sqrt{300} + \sqrt{45} - 5\sqrt{48} = 3\sqrt{5}$;

б) $3\sqrt{54} + \sqrt{96} - 2\sqrt{150} = 3\sqrt{6}$;

в) $\sqrt{84} - (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} = -21$;

г) $\sqrt{72} - (2\sqrt{6} - 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 12$.

а) Докажем тождество $2\sqrt{300} + \sqrt{45} - 5\sqrt{48} = 3\sqrt{5}$.
Для этого преобразуем левую часть равенства. Упростим каждый член, вынеся множитель из-под знака корня:
$2\sqrt{300} = 2\sqrt{100 \cdot 3} = 2 \cdot 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$;
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$;
$5\sqrt{48} = 5\sqrt{16 \cdot 3} = 5 \cdot 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$.
Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть:
$2\sqrt{300} + \sqrt{45} - 5\sqrt{48} = 20\sqrt{3} + 3\sqrt{5} - 20\sqrt{3}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(20\sqrt{3} - 20\sqrt{3}) + 3\sqrt{5} = 0 + 3\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
Левая часть равна $3\sqrt{5}$, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: $20\sqrt{3} + 3\sqrt{5} - 20\sqrt{3} = 3\sqrt{5}$, что и требовалось доказать.

б) Докажем тождество $3\sqrt{54} + \sqrt{96} - 2\sqrt{150} = 3\sqrt{6}$.
Преобразуем левую часть. Вынесем множители из-под знаков корней:
$3\sqrt{54} = 3\sqrt{9 \cdot 6} = 3 \cdot 3\sqrt{6} = 9\sqrt{6}$;
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$;
$2\sqrt{150} = 2\sqrt{25 \cdot 6} = 2 \cdot 5\sqrt{6} = 10\sqrt{6}$.
Подставим упрощенные значения в левую часть:
$3\sqrt{54} + \sqrt{96} - 2\sqrt{150} = 9\sqrt{6} + 4\sqrt{6} - 10\sqrt{6}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9 + 4 - 10)\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$.
Левая часть равна $3\sqrt{6}$, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: $9\sqrt{6} + 4\sqrt{6} - 10\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$, что и требовалось доказать.

в) Докажем тождество $\sqrt{84} - (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} = -21$.
Преобразуем левую часть равенства. Сначала упростим корень и раскроем скобки:
$\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$;
$(3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} = 3 \cdot 7 + 2\sqrt{21} = 21 + 2\sqrt{21}$.
Подставим полученные выражения в левую часть:
$\sqrt{84} - (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{21} - (21 + 2\sqrt{21})$.
Раскроем скобки и выполним вычитание:
$2\sqrt{21} - 21 - 2\sqrt{21} = -21$.
Левая часть равна $-21$, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: $2\sqrt{21} - (21 + 2\sqrt{21}) = -21$, что и требовалось доказать.

г) Докажем тождество $\sqrt{72} - (2\sqrt{6} - 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 12$.
Преобразуем левую часть равенства. Упростим корень и раскроем скобки:
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$;
$(2\sqrt{6} - 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} - 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{18} - 4 \cdot 3 = 2\sqrt{9 \cdot 2} - 12 = 2 \cdot 3\sqrt{2} - 12 = 6\sqrt{2} - 12$.
Подставим полученные выражения в левую часть:
$\sqrt{72} - (2\sqrt{6} - 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{2} - (6\sqrt{2} - 12)$.
Раскроем скобки и выполним вычитание:
$6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 12 = 12$.
Левая часть равна $12$, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: $6\sqrt{2} - (6\sqrt{2} - 12) = 12$, что и требовалось доказать.

414 Верно ли, что:

a) $(3\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 6\sqrt{6} = 21;$

б) $(2\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 + \sqrt{160} = 22;$

в) $4\sqrt{3} - (2\sqrt{3} + 1)^2 = -13;$

г) $55 - (5\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 = 10\sqrt{10}?$

а) Проверим равенство $(3\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 6\sqrt{6} = 21$.
Для этого преобразуем левую часть равенства. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 3\sqrt{2}$ и $b = \sqrt{3}$.
$(3\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 2 + 6\sqrt{6} + 3 = 18 + 6\sqrt{6} + 3 = 21 + 6\sqrt{6}$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное равенство:
$(21 + 6\sqrt{6}) - 6\sqrt{6} = 21$.
Приводим подобные слагаемые:
$21 + 6\sqrt{6} - 6\sqrt{6} = 21$.
$21 = 21$.
Так как левая часть равна правой, равенство верно.
Ответ: Верно.

б) Проверим равенство $(2\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 + \sqrt{160} = 22$.
Преобразуем левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2\sqrt{5}$ и $b = \sqrt{2}$.
$(2\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 5 - 4\sqrt{10} + 2 = 20 - 4\sqrt{10} + 2 = 22 - 4\sqrt{10}$.
Упростим корень $\sqrt{160}$:
$\sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10} = 4\sqrt{10}$.
Подставим полученные выражения в исходное равенство:
$(22 - 4\sqrt{10}) + 4\sqrt{10} = 22$.
Приводим подобные слагаемые:
$22 - 4\sqrt{10} + 4\sqrt{10} = 22$.
$22 = 22$.
Равенство верно.
Ответ: Верно.

в) Проверим равенство $4\sqrt{3} - (2\sqrt{3} + 1)^2 = -13$.
Преобразуем левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 1$.
$(2\sqrt{3} + 1)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 4 \cdot 3 + 4\sqrt{3} + 1 = 12 + 4\sqrt{3} + 1 = 13 + 4\sqrt{3}$.
Подставим полученное выражение в исходное равенство:
$4\sqrt{3} - (13 + 4\sqrt{3}) = -13$.
Раскроем скобки:
$4\sqrt{3} - 13 - 4\sqrt{3} = -13$.
Приводим подобные слагаемые:
$-13 = -13$.
Равенство верно.
Ответ: Верно.

г) Проверим равенство $55 - (5\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 = 10\sqrt{10}$.
Преобразуем левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 5\sqrt{2}$ и $b = \sqrt{5}$.
$(5\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 = (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 25 \cdot 2 - 10\sqrt{10} + 5 = 50 - 10\sqrt{10} + 5 = 55 - 10\sqrt{10}$.
Подставим полученное выражение в исходное равенство:
$55 - (55 - 10\sqrt{10}) = 10\sqrt{10}$.
Раскроем скобки:
$55 - 55 + 10\sqrt{10} = 10\sqrt{10}$.
Приводим подобные слагаемые:
$10\sqrt{10} = 10\sqrt{10}$.
Равенство верно.
Ответ: Верно.

415 Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

a) $\frac{\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}}$;

б) $\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}-6}$;

в) $\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}$;

г) $\frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}$.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $ 5+3\sqrt{3} $ является $ 5-3\sqrt{3} $.

$ \frac{\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(5-3\sqrt{3})}{(5+3\sqrt{3})(5-3\sqrt{3})} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \sqrt{3}(5-3\sqrt{3}) = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} - 3 \cdot 3 = 5\sqrt{3} - 9 $

В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $:

$ (5+3\sqrt{3})(5-3\sqrt{3}) = 5^2 - (3\sqrt{3})^2 = 25 - (9 \cdot 3) = 25 - 27 = -2 $

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{5\sqrt{3} - 9}{-2} = \frac{-(9 - 5\sqrt{3})}{-2} = \frac{9 - 5\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{9 - 5\sqrt{3}}{2} $

б) Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}-6} $ на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $ 5\sqrt{2}+6 $.

$ \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}-6} = \frac{\sqrt{2}(5\sqrt{2}+6)}{(5\sqrt{2}-6)(5\sqrt{2}+6)} $

Упростим числитель:

$ \sqrt{2}(5\sqrt{2}+6) = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 5 \cdot 2 + 6\sqrt{2} = 10 + 6\sqrt{2} $

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов:

$ (5\sqrt{2}-6)(5\sqrt{2}+6) = (5\sqrt{2})^2 - 6^2 = (25 \cdot 2) - 36 = 50 - 36 = 14 $

Получаем дробь:

$ \frac{10 + 6\sqrt{2}}{14} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2(5 + 3\sqrt{2})}{14} = \frac{5 + 3\sqrt{2}}{7} $

Ответ: $ \frac{5 + 3\sqrt{2}}{7} $

в) Для дроби $ \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2} $ сопряженным выражением к знаменателю $ \sqrt{7}-2 $ является $ \sqrt{7}+2 $. Умножим на него числитель и знаменатель.

$ \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2} = \frac{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{(\sqrt{7}+2)^2}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} $

В числителе используем формулу квадрата суммы $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $:

$ (\sqrt{7}+2)^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 + 4\sqrt{7} + 4 = 11 + 4\sqrt{7} $

В знаменателе получаем:

$ (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3 $

В результате получаем:

$ \frac{11 + 4\sqrt{7}}{3} $

Ответ: $ \frac{11 + 4\sqrt{7}}{3} $

г) Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{10}-3\sqrt{2} $.

$ \frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{10}-3\sqrt{2})(\sqrt{10}-3\sqrt{2})}{(\sqrt{10}+3\sqrt{2})(\sqrt{10}-3\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{10}-3\sqrt{2})^2}{(\sqrt{10})^2 - (3\sqrt{2})^2} $

Раскроем числитель по формуле квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $:

$ (\sqrt{10}-3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 10 - 6\sqrt{20} + 9 \cdot 2 $

Упростим корень $ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $:

$ 10 - 6 \cdot (2\sqrt{5}) + 18 = 10 - 12\sqrt{5} + 18 = 28 - 12\sqrt{5} $

Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{10})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 10 - (9 \cdot 2) = 10 - 18 = -8 $

Подставим полученные значения:

$ \frac{28 - 12\sqrt{5}}{-8} = \frac{-(12\sqrt{5} - 28)}{8} = \frac{12\sqrt{5} - 28}{8} $

Вынесем общий множитель 4 в числителе и сократим дробь:

$ \frac{4(3\sqrt{5} - 7)}{8} = \frac{3\sqrt{5} - 7}{2} $

Ответ: $ \frac{3\sqrt{5} - 7}{2} $

416 Упростите выражение:

а) $\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{6}};$

б) $\sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}\left(\frac{2+\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}} - 2 - \sqrt{7}\right);$

в) $\left(\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \sqrt{10}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\right);$

г) $\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3\sqrt{3}+\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}.$

а) $\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{6}}$

Чтобы упростить это выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей $(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для вычисления знаменателя:

$(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6}) = 3^2 - (\sqrt{6})^2 = 9 - 6 = 3$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{6})}{3} - \frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{6})}{3} = \frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{6}) - \sqrt{2}(3-\sqrt{6})}{3}$.

Раскроем скобки в числителе:

$3\sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 6} - (3\sqrt{2} - \sqrt{2 \cdot 6}) = 3\sqrt{3} + \sqrt{18} - 3\sqrt{2} + \sqrt{12}$.

Упростим корни: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ и $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Подставим упрощенные значения в числитель и приведем подобные слагаемые:

$3\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = (3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) + (3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) = 5\sqrt{3}$.

В результате получаем:

$\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

б) $\sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}} \left( \frac{2+\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}} - 2 - \sqrt{7} \right)$

Сначала упростим выражение в больших скобках. Для этого приведем все его члены к общему знаменателю $2-\sqrt{7}$:

$\frac{2+\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}} - 2 - \sqrt{7} = \frac{2+\sqrt{7} - 2(2-\sqrt{7}) - \sqrt{7}(2-\sqrt{7})}{2-\sqrt{7}}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{2+\sqrt{7} - 4 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2}{2-\sqrt{7}} = \frac{2+\sqrt{7} - 4 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} + 7}{2-\sqrt{7}}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2-4+7) + (\sqrt{7}+2\sqrt{7}-2\sqrt{7})}{2-\sqrt{7}} = \frac{5+\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}} \cdot \frac{5+\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}}$.

Перемножим дроби. Знаменатель произведения равен $(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7}) = 2^2 - (\sqrt{7})^2 = 4-7 = -3$.

Числитель произведения равен $\sqrt{7}(5+\sqrt{7}) = 5\sqrt{7} + 7$.

Выражение принимает вид:

$\sqrt{7} + \frac{5\sqrt{7}+7}{-3} = \sqrt{7} - \frac{5\sqrt{7}+7}{3}$.

Приведем к общему знаменателю 3:

$\frac{3\sqrt{7}}{3} - \frac{5\sqrt{7}+7}{3} = \frac{3\sqrt{7} - (5\sqrt{7}+7)}{3} = \frac{3\sqrt{7} - 5\sqrt{7} - 7}{3} = \frac{-2\sqrt{7}-7}{3}$.

Ответ: $\frac{-7-2\sqrt{7}}{3}$.

в) $\left( \frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \sqrt{10} \right) \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right)$

Упростим выражение в каждой из скобок по отдельности.

Начнем со второй скобки, приведя дроби к общему знаменателю $\sqrt{2}\sqrt{5}=\sqrt{10}$:

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2}{\sqrt{10}} = \frac{5+2}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}$.

Теперь упростим первую скобку, приведя слагаемые к общему знаменателю $\sqrt{5}+\sqrt{2}$:

$\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2} + \sqrt{10}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2} + \sqrt{50} + \sqrt{20}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$.

Упростим корни: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ и $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Подставим в числитель: $\sqrt{5}-5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

Таким образом, первая скобка равна $\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \cdot \frac{7}{\sqrt{10}} = \frac{21\sqrt{5}}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})\sqrt{10}} = \frac{21\sqrt{5}}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})\sqrt{5}\sqrt{2}} = \frac{21}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})\sqrt{2}} = \frac{21}{\sqrt{10}+2}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{10}-2$:

$\frac{21(\sqrt{10}-2)}{(\sqrt{10}+2)(\sqrt{10}-2)} = \frac{21(\sqrt{10}-2)}{(\sqrt{10})^2-2^2} = \frac{21(\sqrt{10}-2)}{10-4} = \frac{21(\sqrt{10}-2)}{6}$.

Сократим дробь на 3: $\frac{7(\sqrt{10}-2)}{2}$.

Ответ: $\frac{7(\sqrt{10}-2)}{2}$.

г) $\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3\sqrt{3}+\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению знаменателей $(3\sqrt{3}+\sqrt{5})(3\sqrt{3}-\sqrt{5})$.

Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(3\sqrt{3}+\sqrt{5})(3\sqrt{3}-\sqrt{5}) = (3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 3 - 5 = 27 - 5 = 22$.

Выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$\frac{(3\sqrt{3}-\sqrt{5})^2 - (3\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}{22}$.

Для упрощения числителя воспользуемся тождеством $(a-b)^2 - (a+b)^2 = -4ab$.

В данном случае $a = 3\sqrt{3}$ и $b = \sqrt{5}$.

Тогда числитель равен:

$-4 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5}) = -12\sqrt{3 \cdot 5} = -12\sqrt{15}$.

Подставим полученное значение числителя в выражение:

$\frac{-12\sqrt{15}}{22}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{6\sqrt{15}}{11}$.

Ответ: $-\frac{6\sqrt{15}}{11}$.

Сократите дробь (417–418).

a) $\frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a} + a\sqrt{b}}$;

б) $\frac{b\sqrt{a} - a\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}$;

в) $\frac{x - 1}{1 + 2\sqrt{x} + x}$;

г) $\frac{4 - 4\sqrt{a} + a}{4 - a}$;

д) $\frac{1 - (\sqrt{a})^3}{1 - \sqrt{a}}$;

е) $\frac{9 - 3\sqrt{x} + x}{27 + (\sqrt{x})^3}$.

а) $ \frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a} + a\sqrt{b}} $

Чтобы сократить дробь, вынесем общий множитель в знаменателе. Для этого представим переменные $a$ и $b$ в виде квадратов их корней: $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.

Преобразуем знаменатель: $b\sqrt{a} + a\sqrt{b} = (\sqrt{b})^2\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2\sqrt{b}$.

Общим множителем является $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Вынесем его за скобки:

$b\sqrt{a} + a\sqrt{b} = \sqrt{ab}(\sqrt{b} + \sqrt{a})$.

Теперь подставим преобразованный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $\sqrt{ab}$ (при условии $a>0, b>0$):

$\frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Ответ: $\frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

б) $ \frac{b\sqrt{a} - a\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} $

Вынесем общий множитель в числителе. Так же, как и в предыдущем примере, представим $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.

Преобразуем числитель: $b\sqrt{a} - a\sqrt{b} = (\sqrt{b})^2\sqrt{a} - (\sqrt{a})^2\sqrt{b}$.

Вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{ab}$:

$ \sqrt{ab}(\sqrt{b} - \sqrt{a}) $

Подставим полученное выражение в дробь:

$ \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} $

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{b} - \sqrt{a})$ (при условии $a \ne b$):

$ \sqrt{ab} $

Ответ: $ \sqrt{ab} $

в) $ \frac{x-1}{1+2\sqrt{x}+x} $

Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе применим формулу разности квадратов, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$:

$x-1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.

Знаменатель $x+2\sqrt{x}+1$ является полным квадратом суммы:

$x+2\sqrt{x}+1 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x} + 1^2 = (\sqrt{x}+1)^2$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2}$

Сократим дробь на $(\sqrt{x}+1)$:

$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

Ответ: $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

г) $ \frac{4-4\sqrt{a}+a}{4-a} $

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $a-4\sqrt{a}+4$ является полным квадратом разности:

$a-4\sqrt{a}+4 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a} + 2^2 = (\sqrt{a}-2)^2$, что также можно записать как $(2-\sqrt{a})^2$.

Знаменатель $4-a$ является разностью квадратов:

$4-a = 2^2 - (\sqrt{a})^2 = (2-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(2-\sqrt{a})^2}{(2-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})}$

Сократим дробь на $(2-\sqrt{a})$ (при условии $a \ne 4$):

$\frac{2-\sqrt{a}}{2+\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{2-\sqrt{a}}{2+\sqrt{a}}$

д) $ \frac{1-(\sqrt{a})^3}{1-\sqrt{a}} $

Для числителя применим формулу разности кубов: $c^3 - d^3 = (c-d)(c^2+cd+d^2)$.

В нашем случае $c=1$ и $d=\sqrt{a}$.

Раскладываем числитель: $1 - (\sqrt{a})^3 = (1-\sqrt{a})(1^2 + 1 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2) = (1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+a)$.

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+a)}{1-\sqrt{a}}$

Сократим дробь на $(1-\sqrt{a})$ (при условии $a \ne 1$):

$1+\sqrt{a}+a$

Ответ: $1+\sqrt{a}+a$

е) $ \frac{9-3\sqrt{x}+x}{27+(\sqrt{x})^3} $

Для знаменателя применим формулу суммы кубов: $c^3 + d^3 = (c+d)(c^2-cd+d^2)$.

В нашем случае $27 = 3^3$, поэтому $c=3$ и $d=\sqrt{x}$.

Раскладываем знаменатель: $27 + (\sqrt{x})^3 = 3^3 + (\sqrt{x})^3 = (3+\sqrt{x})(3^2 - 3\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2) = (3+\sqrt{x})(9-3\sqrt{x}+x)$.

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{9-3\sqrt{x}+x}{(3+\sqrt{x})(9-3\sqrt{x}+x)}$

Сократим дробь на общий множитель $(9-3\sqrt{x}+x)$, который не равен нулю ни при каких $x \ge 0$:

$\frac{1}{3+\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{1}{3+\sqrt{x}}$

418 a) $ \frac{2 - 3\sqrt{a} + a}{6 - 3\sqrt{a}} $;

б) $ \frac{3 - 2\sqrt{x} - x}{9 + 3\sqrt{x}} $.

Указание. a) Введите замену $y = \sqrt{a}$ и выполните разложение на множители.

a)

Упростим выражение $\frac{2-3\sqrt{a}+a}{6-3\sqrt{a}}$.

Следуя указанию, введем замену $y = \sqrt{a}$. Отсюда следует, что $a = y^2$. Подставим новую переменную в исходное выражение:

$\frac{2-3y+y^2}{6-3y}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $y^2 - 3y + 2$ является квадратным трехчленом. Найдем его корни, решив уравнение $y^2 - 3y + 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $y_1 = 1$ и $y_2 = 2$. Таким образом, разложение на множители имеет вид $(y-1)(y-2)$.

В знаменателе $6-3y$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(2-y)$. Это выражение можно переписать как $-3(y-2)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(y-1)(y-2)}{-3(y-2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-2)$. Это возможно при условии $y-2 \neq 0$, то есть $y \neq 2$ или $\sqrt{a} \neq 2$, что означает $a \neq 4$. Это условие совпадает с областью определения исходного выражения, так как знаменатель $6-3\sqrt{a}$ не должен быть равен нулю.

После сокращения получаем:

$\frac{y-1}{-3} = -\frac{y-1}{3} = \frac{1-y}{3}$

Выполним обратную замену, подставив $y = \sqrt{a}$:

$\frac{1-\sqrt{a}}{3}$

Ответ: $\frac{1-\sqrt{a}}{3}$

б)

Упростим выражение $\frac{3-2\sqrt{x}-x}{9+3\sqrt{x}}$.

По аналогии с предыдущим заданием, введем замену. Пусть $z = \sqrt{x}$, тогда $x = z^2$. Подставим новую переменную в выражение:

$\frac{3-2z-z^2}{9+3z}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $3-2z-z^2$ можно переписать как $-(z^2+2z-3)$. Найдем корни квадратного трехчлена $z^2+2z-3=0$. По теореме Виета, корни равны $z_1 = 1$ и $z_2 = -3$. Значит, $z^2+2z-3 = (z-1)(z+3)$. Таким образом, числитель равен $-(z-1)(z+3)$, что можно записать как $(1-z)(z+3)$.

В знаменателе $9+3z$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(3+z)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(1-z)(z+3)}{3(z+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(z+3)$. Так как по определению $z = \sqrt{x}$, то $z \ge 0$, следовательно, выражение $z+3$ всегда положительно и не равно нулю. Сокращение является корректным.

После сокращения получаем:

$\frac{1-z}{3}$

Выполним обратную замену, подставив $z = \sqrt{x}$:

$\frac{1-\sqrt{x}}{3}$

Ответ: $\frac{1-\sqrt{x}}{3}$