Номер 417, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 2. Квадратные корни - номер 417, страница 113.

Условие.

Сократите дробь (417–418).

a) $\frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a} + a\sqrt{b}}$;

б) $\frac{b\sqrt{a} - a\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}$;

в) $\frac{x - 1}{1 + 2\sqrt{x} + x}$;

г) $\frac{4 - 4\sqrt{a} + a}{4 - a}$;

д) $\frac{1 - (\sqrt{a})^3}{1 - \sqrt{a}}$;

е) $\frac{9 - 3\sqrt{x} + x}{27 + (\sqrt{x})^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $ \frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a} + a\sqrt{b}} $

Чтобы сократить дробь, вынесем общий множитель в знаменателе. Для этого представим переменные $a$ и $b$ в виде квадратов их корней: $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.

Преобразуем знаменатель: $b\sqrt{a} + a\sqrt{b} = (\sqrt{b})^2\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2\sqrt{b}$.

Общим множителем является $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Вынесем его за скобки:

$b\sqrt{a} + a\sqrt{b} = \sqrt{ab}(\sqrt{b} + \sqrt{a})$.

Теперь подставим преобразованный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $\sqrt{ab}$ (при условии $a>0, b>0$):

$\frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Ответ: $\frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

б) $ \frac{b\sqrt{a} - a\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} $

Вынесем общий множитель в числителе. Так же, как и в предыдущем примере, представим $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.

Преобразуем числитель: $b\sqrt{a} - a\sqrt{b} = (\sqrt{b})^2\sqrt{a} - (\sqrt{a})^2\sqrt{b}$.

Вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{ab}$:

$ \sqrt{ab}(\sqrt{b} - \sqrt{a}) $

Подставим полученное выражение в дробь:

$ \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} $

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{b} - \sqrt{a})$ (при условии $a \ne b$):

$ \sqrt{ab} $

Ответ: $ \sqrt{ab} $

в) $ \frac{x-1}{1+2\sqrt{x}+x} $

Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе применим формулу разности квадратов, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$:

$x-1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.

Знаменатель $x+2\sqrt{x}+1$ является полным квадратом суммы:

$x+2\sqrt{x}+1 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x} + 1^2 = (\sqrt{x}+1)^2$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2}$

Сократим дробь на $(\sqrt{x}+1)$:

$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

Ответ: $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

г) $ \frac{4-4\sqrt{a}+a}{4-a} $

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $a-4\sqrt{a}+4$ является полным квадратом разности:

$a-4\sqrt{a}+4 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a} + 2^2 = (\sqrt{a}-2)^2$, что также можно записать как $(2-\sqrt{a})^2$.

Знаменатель $4-a$ является разностью квадратов:

$4-a = 2^2 - (\sqrt{a})^2 = (2-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(2-\sqrt{a})^2}{(2-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})}$

Сократим дробь на $(2-\sqrt{a})$ (при условии $a \ne 4$):

$\frac{2-\sqrt{a}}{2+\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{2-\sqrt{a}}{2+\sqrt{a}}$

д) $ \frac{1-(\sqrt{a})^3}{1-\sqrt{a}} $

Для числителя применим формулу разности кубов: $c^3 - d^3 = (c-d)(c^2+cd+d^2)$.

В нашем случае $c=1$ и $d=\sqrt{a}$.

Раскладываем числитель: $1 - (\sqrt{a})^3 = (1-\sqrt{a})(1^2 + 1 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2) = (1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+a)$.

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+a)}{1-\sqrt{a}}$

Сократим дробь на $(1-\sqrt{a})$ (при условии $a \ne 1$):

$1+\sqrt{a}+a$

Ответ: $1+\sqrt{a}+a$

е) $ \frac{9-3\sqrt{x}+x}{27+(\sqrt{x})^3} $

Для знаменателя применим формулу суммы кубов: $c^3 + d^3 = (c+d)(c^2-cd+d^2)$.

В нашем случае $27 = 3^3$, поэтому $c=3$ и $d=\sqrt{x}$.

Раскладываем знаменатель: $27 + (\sqrt{x})^3 = 3^3 + (\sqrt{x})^3 = (3+\sqrt{x})(3^2 - 3\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2) = (3+\sqrt{x})(9-3\sqrt{x}+x)$.

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{9-3\sqrt{x}+x}{(3+\sqrt{x})(9-3\sqrt{x}+x)}$

Сократим дробь на общий множитель $(9-3\sqrt{x}+x)$, который не равен нулю ни при каких $x \ge 0$:

$\frac{1}{3+\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{1}{3+\sqrt{x}}$