Страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

389 Заполните таблицу кубов натуральных чисел от 1 до 10.

$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$n^3$

С помощью таблицы найдите значение выражения:

а) $\sqrt[3]{8}$;

б) $\sqrt[3]{125}$;

в) $\sqrt[3]{-64}$;

г) $\sqrt[3]{-216}$;

д) $\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$;

е) $\sqrt[3]{\frac{1}{1000}}$;

ж) $\sqrt[3]{-\frac{1}{512}}$;

з) $\sqrt[3]{343000}$.

Сначала заполним таблицу, для этого вычислим куб каждого натурального числа $n$ от 1 до 10.

Теперь, используя данную таблицу, найдем значения выражений. Нахождение кубического корня ($\sqrt[3]{x}$) является операцией, обратной возведению в куб.

а) $\sqrt[3]{8}$.
В строке $n^3$ находим число 8. Ему соответствует число 2 в строке $n$. Значит, $\sqrt[3]{8} = 2$, поскольку $2^3 = 8$.
Ответ: 2

б) $\sqrt[3]{125}$.
В строке $n^3$ находим число 125. Ему соответствует число 5 в строке $n$. Значит, $\sqrt[3]{125} = 5$, поскольку $5^3 = 125$.
Ответ: 5

в) $\sqrt[3]{-64}$.
Используем свойство корня нечетной степени: $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$. Из таблицы находим, что $\sqrt[3]{64} = 4$. Следовательно, $\sqrt[3]{-64} = -\sqrt[3]{64} = -4$.
Ответ: -4

г) $\sqrt[3]{-216}$.
Аналогично предыдущему пункту: $\sqrt[3]{-216} = -\sqrt[3]{216}$. Из таблицы находим, что $\sqrt[3]{216} = 6$. Следовательно, $\sqrt[3]{-216} = -6$.
Ответ: -6

д) $\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$.
Используем свойство корня из дроби: $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$. Получаем $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}}$. Из таблицы видим, что $\sqrt[3]{1} = 1$ и $\sqrt[3]{729} = 9$. Таким образом, $\sqrt[3]{\frac{1}{729}} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

е) $\sqrt[3]{\frac{1}{1000}}$.
Аналогично предыдущему пункту: $\sqrt[3]{\frac{1}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{1000}}$. Из таблицы получаем $\frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$

ж) $\sqrt[3]{-\frac{1}{512}}$.
Используя свойства корня, получаем: $\sqrt[3]{-\frac{1}{512}} = -\sqrt[3]{\frac{1}{512}} = -\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{512}}$. Из таблицы находим, что $\sqrt[3]{512} = 8$. Значит, результат равен $-\frac{1}{8}$.
Ответ: $-\frac{1}{8}$

з) $\sqrt[3]{343\,000}$.
Представим подкоренное выражение как произведение: $343\,000 = 343 \times 1000$. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$. Получаем $\sqrt[3]{343 \times 1000} = \sqrt[3]{343} \times \sqrt[3]{1000}$. По таблице $\sqrt[3]{343}=7$ и $\sqrt[3]{1000}=10$. Следовательно, $\sqrt[3]{343\,000} = 7 \times 10 = 70$.
Ответ: 70

390 Укажите два последовательных целых числа, между которыми заключено число (воспользуйтесь таблицей кубов из упражнения 389):

а) $\sqrt[3]{40}$;

б) $\sqrt[3]{80}$;

в) $\sqrt[3]{200}$;

г) $\sqrt[3]{300}$.

Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми заключено заданное число вида $\sqrt[3]{x}$, необходимо найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{x} < n+1$. Это неравенство равносильно неравенству $n^3 < x < (n+1)^3$. Для решения воспользуемся таблицей кубов целых чисел.

а) Найдем два последовательных целых числа, между кубами которых находится число 40. Из таблицы кубов: $3^3 = 27$ и $4^3 = 64$. Так как $27 < 40 < 64$, то справедливо двойное неравенство $\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{40} < \sqrt[3]{64}$. Следовательно, $3 < \sqrt[3]{40} < 4$. Значит, число $\sqrt[3]{40}$ заключено между последовательными целыми числами 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

б) Найдем два последовательных целых числа, между кубами которых находится число 80. Из таблицы кубов: $4^3 = 64$ и $5^3 = 125$. Так как $64 < 80 < 125$, то справедливо двойное неравенство $\sqrt[3]{64} < \sqrt[3]{80} < \sqrt[3]{125}$. Следовательно, $4 < \sqrt[3]{80} < 5$. Значит, число $\sqrt[3]{80}$ заключено между последовательными целыми числами 4 и 5.
Ответ: 4 и 5.

в) Найдем два последовательных целых числа, между кубами которых находится число 200. Из таблицы кубов: $5^3 = 125$ и $6^3 = 216$. Так как $125 < 200 < 216$, то справедливо двойное неравенство $\sqrt[3]{125} < \sqrt[3]{200} < \sqrt[3]{216}$. Следовательно, $5 < \sqrt[3]{200} < 6$. Значит, число $\sqrt[3]{200}$ заключено между последовательными целыми числами 5 и 6.
Ответ: 5 и 6.

г) Найдем два последовательных целых числа, между кубами которых находится число 300. Из таблицы кубов: $6^3 = 216$ и $7^3 = 343$. Так как $216 < 300 < 343$, то справедливо двойное неравенство $\sqrt[3]{216} < \sqrt[3]{300} < \sqrt[3]{343}$. Следовательно, $6 < \sqrt[3]{300} < 7$. Значит, число $\sqrt[3]{300}$ заключено между последовательными целыми числами 6 и 7.
Ответ: 6 и 7.

391 Найдите с помощью калькулятора приближённое значение с тремя знаками после запятой следующего числа:

a) $ \sqrt[3]{2} $;

б) $ \sqrt[3]{10} $;

в) $ \sqrt[3]{36} $;

г) $ \sqrt[3]{0,1} $;

д) $ \sqrt[3]{65,5} $;

е) $ \sqrt[3]{0,05} $.

а)

Для нахождения приближенного значения $\sqrt[3]{2}$ воспользуемся калькулятором. Вычисление дает результат: $\sqrt[3]{2} \approx 1,259921...$

Чтобы округлить это число до трех знаков после запятой, смотрим на четвертый знак. В данном случае это 9. Так как $9 \ge 5$, то третий знак после запятой нужно увеличить на единицу (правило округления).

Таким образом, $1,259...$ округляется до $1,260$.

Ответ: $1,260$.

б)

Вычислим на калькуляторе значение кубического корня из 10: $\sqrt[3]{10} \approx 2,154434...$

Для округления до трех знаков после запятой смотрим на четвертую цифру. Это цифра 4. Так как $4 < 5$, то третью цифру после запятой оставляем без изменений.

Таким образом, $\sqrt[3]{10} \approx 2,154$.

Ответ: $2,154$.

в)

Вычислим на калькуляторе значение кубического корня из 36: $\sqrt[3]{36} \approx 3,301927...$

Для округления до трех знаков после запятой смотрим на четвертую цифру. Это цифра 9. Так как $9 \ge 5$, то третью цифру после запятой увеличиваем на единицу.

Таким образом, $\sqrt[3]{36} \approx 3,302$.

Ответ: $3,302$.

г)

Вычислим на калькуляторе значение кубического корня из 0,1: $\sqrt[3]{0,1} \approx 0,464158...$

Для округления до трех знаков после запятой смотрим на четвертую цифру. Это цифра 1. Так как $1 < 5$, то третью цифру после запятой оставляем без изменений.

Таким образом, $\sqrt[3]{0,1} \approx 0,464$.

Ответ: $0,464$.

д)

Вычислим на калькуляторе значение кубического корня из 65,5: $\sqrt[3]{65,5} \approx 4,030806...$

Для округления до трех знаков после запятой смотрим на четвертую цифру. Это цифра 8. Так как $8 \ge 5$, то третью цифру после запятой увеличиваем на единицу.

Таким образом, $\sqrt[3]{65,5} \approx 4,031$.

Ответ: $4,031$.

е)

Вычислим на калькуляторе значение кубического корня из 0,05: $\sqrt[3]{0,05} \approx 0,368403...$

Для округления до трех знаков после запятой смотрим на четвертую цифру. Это цифра 4. Так как $4 < 5$, то третью цифру после запятой оставляем без изменений.

Таким образом, $\sqrt[3]{0,05} \approx 0,368$.

Ответ: $0,368$.

392 1) Какие из чисел 15, -18, 56, -110 являются допустимыми значениями для выражения $\sqrt{a}$? выражения $\sqrt[3]{a}$?

2) Подставьте в каждое из выражений $\sqrt{a}$ и $\sqrt[3]{a}$ допустимые значения переменной и укажите два последовательных целых числа, между которыми заключено значение корня.

1)

Разберем допустимые значения для каждого из выражений.

Выражение $\sqrt{a}$ (арифметический квадратный корень) определено только для неотрицательных значений переменной $a$. Это значит, что должно выполняться условие $a \ge 0$. Из предложенных чисел $15, -18, 56, -110$ этому условию удовлетворяют только положительные числа: $15$ и $56$.

Выражение $\sqrt[3]{a}$ (кубический корень) определено для любых действительных чисел $a$, так как можно извлечь кубический корень как из положительного, так и из отрицательного числа или нуля. Следовательно, все предложенные числа $15, -18, 56, -110$ являются допустимыми значениями.

Ответ: для выражения $\sqrt{a}$ допустимыми являются числа $15$ и $56$; для выражения $\sqrt[3]{a}$ допустимыми являются все числа: $15, -18, 56, -110$.

2)

Теперь подставим допустимые значения в каждое из выражений и определим два последовательных целых числа, между которыми находится значение корня.

Для выражения $\sqrt{a}$:

- При $a = 15$:
Находим квадраты целых чисел, между которыми находится 15. Это $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$.
Из неравенства $9 < 15 < 16$ следует, что $\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16}$, а значит $3 < \sqrt{15} < 4$.
Значение корня заключено между целыми числами 3 и 4.

- При $a = 56$:
Находим квадраты целых чисел, между которыми находится 56. Это $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$.
Из неравенства $49 < 56 < 64$ следует, что $\sqrt{49} < \sqrt{56} < \sqrt{64}$, а значит $7 < \sqrt{56} < 8$.
Значение корня заключено между целыми числами 7 и 8.

Для выражения $\sqrt[3]{a}$:

- При $a = 15$:
Находим кубы целых чисел: $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$.
Из неравенства $8 < 15 < 27$ следует, что $\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{15} < \sqrt[3]{27}$, а значит $2 < \sqrt[3]{15} < 3$.
Значение корня заключено между целыми числами 2 и 3.

- При $a = -18$:
Находим кубы целых чисел: $(-3)^3 = -27$ и $(-2)^3 = -8$.
Из неравенства $-27 < -18 < -8$ следует, что $\sqrt[3]{-27} < \sqrt[3]{-18} < \sqrt[3]{-8}$, а значит $-3 < \sqrt[3]{-18} < -2$.
Значение корня заключено между целыми числами -3 и -2.

- При $a = 56$:
Находим кубы целых чисел: $3^3 = 27$ и $4^3 = 64$.
Из неравенства $27 < 56 < 64$ следует, что $\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{56} < \sqrt[3]{64}$, а значит $3 < \sqrt[3]{56} < 4$.
Значение корня заключено между целыми числами 3 и 4.

- При $a = -110$:
Находим кубы целых чисел: $(-5)^3 = -125$ и $(-4)^3 = -64$.
Из неравенства $-125 < -110 < -64$ следует, что $\sqrt[3]{-125} < \sqrt[3]{-110} < \sqrt[3]{-64}$, а значит $-5 < \sqrt[3]{-110} < -4$.
Значение корня заключено между целыми числами -5 и -4.

Ответ:
Для $\sqrt{15}$ искомые числа — 3 и 4.
Для $\sqrt{56}$ искомые числа — 7 и 8.
Для $\sqrt[3]{15}$ искомые числа — 2 и 3.
Для $\sqrt[3]{-18}$ искомые числа — -3 и -2.
Для $\sqrt[3]{56}$ искомые числа — 3 и 4.
Для $\sqrt[3]{-110}$ искомые числа — -5 и -4.

393 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПЛАНУ

Постройте график зависимости $y = \sqrt[3]{x}$. Для этого:

1) составьте таблицу значений $\sqrt[3]{x}$ для $x = 0; 0,5; 1; 2; ...; 8$ (приближённые значения $\sqrt[3]{x}$ берите с одним знаком после запятой);

2) составьте таблицу для противоположных (отрицательных) значений $x$;

3) отметьте в координатной плоскости точки с координатами $(x; \sqrt[3]{x})$ и соедините их плавной линией;

4) опишите свойства графика зависимости $y = \sqrt[3]{x}$ (в качестве образца используйте описание свойств графика зависимости $y = \sqrt{x}$ на с. 90).

1) Составим таблицу значений для функции $y = \sqrt[3]{x}$ при $x \ge 0$, округляя приближенные значения до одного знака после запятой.
Если $x = 0$, то $y = \sqrt[3]{0} = 0$.
Если $x = 0,5$, то $y = \sqrt[3]{0,5} \approx 0,8$.
Если $x = 1$, то $y = \sqrt[3]{1} = 1$.
Если $x = 2$, то $y = \sqrt[3]{2} \approx 1,3$.
Если $x = 8$, то $y = \sqrt[3]{8} = 2$.
Ответ: Получены следующие пары значений (x; y): (0; 0), (0,5; 0,8), (1; 1), (2; 1,3), (8; 2).

2) Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат. Поэтому для отрицательных значений $x$ значения $y$ будут противоположны значениям для соответствующих положительных $x$.
Если $x = -0,5$, то $y = \sqrt[3]{-0,5} = -\sqrt[3]{0,5} \approx -0,8$.
Если $x = -1$, то $y = \sqrt[3]{-1} = -1$.
Если $x = -2$, то $y = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2} \approx -1,3$.
Если $x = -8$, то $y = \sqrt[3]{-8} = -2$.
Ответ: Получены следующие пары значений (x; y): (-0,5; -0,8), (-1; -1), (-2; -1,3), (-8; -2).

3) Отметим в координатной плоскости точки, найденные в пунктах 1 и 2: (-8; -2), (-2; -1,3), (-1; -1), (-0,5; -0,8), (0; 0), (0,5; 0,8), (1; 1), (2; 1,3), (8; 2). Соединим эти точки плавной линией. В результате получим график функции $y = \sqrt[3]{x}$.Ответ: График зависимости $y = \sqrt[3]{x}$ построен.

4) Опишем свойства графика зависимости $y = \sqrt[3]{x}$.
1. Область определения функции — множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. График пересекает оси координат в точке (0; 0). $y=0$ при $x=0$.
3. $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$. График расположен в I и III координатных четвертях.
4. Функция является нечетной, так как $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$ для любого $x$. График симметричен относительно начала координат.
5. Функция возрастает на всей области определения (на промежутке $(-\infty; +\infty)$).
6. Область значений функции — множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
8. У функции нет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
Ответ: Свойства графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ описаны.