Страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

377 Упростите выражение:

a) $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$;

б) $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей исходных дробей: $(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их. Дополнительный множитель для первой дроби – $(\sqrt{6}-\sqrt{5})$, для второй – $(\sqrt{6}+\sqrt{5})$.

$\frac{1 \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})} + \frac{1 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{5}) + (\sqrt{6}+\sqrt{5})}{1}$.

Сложим выражения в числителе:

$\sqrt{6}-\sqrt{5} + \sqrt{6}+\sqrt{5} = 2\sqrt{6}$.

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{2\sqrt{6}}{1} = 2\sqrt{6}$.

Ответ: $2\sqrt{6}$.

б) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$, так же как и в предыдущем пункте, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$. Используя формулу разности квадратов, получаем:

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби – $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$, для второй – $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$.

$\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} - \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{1}$.

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$.

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$.

Подставим полученные значения в выражение и выполним вычитание:

$(5 - 2\sqrt{6}) - (5 + 2\sqrt{6}) = 5 - 2\sqrt{6} - 5 - 2\sqrt{6} = -4\sqrt{6}$.

Ответ: $-4\sqrt{6}$.

378 Найдите значение выражения:

a) $x(x + 1)(x + 2)(x + 3)$ при $x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$;

б) $(m - 1)(m - 2)(m - 3)(m - 4)$ при $m = \frac{10+\sqrt{2}}{4}$.

а) Найдем значение выражения $x(x+1)(x+2)(x+3)$ при $x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$.

Для упрощения вычислений сгруппируем множители. Удобнее всего перемножить первый множитель с четвертым, а второй с третьим, так как это приведет к одинаковому выражению $x^2+3x$.

$x(x+1)(x+2)(x+3) = [x(x+3)][(x+1)(x+2)] = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)$.

Теперь найдем значение общего для обеих скобок выражения $x^2 + 3x$. Для этого преобразуем данное значение $x$.

$x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2x = \sqrt{5}-3$

Перенесем -3 в левую часть:

$2x + 3 = \sqrt{5}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$(2x + 3)^2 = (\sqrt{5})^2$

$4x^2 + 12x + 9 = 5$

$4x^2 + 12x = 5 - 9$

$4x^2 + 12x = -4$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 + 3x = -1$

Теперь подставим полученное значение $(-1)$ в преобразованное выражение $(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)$:

$(-1)(-1 + 2) = (-1)(1) = -1$.

Ответ: -1

б) Найдем значение выражения $(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)$ при $m = \frac{10+\sqrt{2}}{4}$.

Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем множители для упрощения. Сгруппируем первый множитель с четвертым, а второй с третьим, чтобы получить одинаковую часть $m^2-5m$.

$(m-1)(m-4) = m^2 - 4m - m + 4 = m^2 - 5m + 4$.

$(m-2)(m-3) = m^2 - 3m - 2m + 6 = m^2 - 5m + 6$.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$(m^2 - 5m + 4)(m^2 - 5m + 6)$.

Теперь найдем значение выражения $m^2 - 5m$. Преобразуем данное значение $m$.

$m = \frac{10+\sqrt{2}}{4}$

Умножим обе части на 4:

$4m = 10+\sqrt{2}$

Перенесем 10 в левую часть:

$4m - 10 = \sqrt{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(4m - 10)^2 = (\sqrt{2})^2$

$16m^2 - 80m + 100 = 2$

$16m^2 - 80m = 2 - 100$

$16m^2 - 80m = -98$

Разделим обе части на 16:

$m^2 - 5m = -\frac{98}{16} = -\frac{49}{8}$

Подставим полученное значение в выражение $(m^2 - 5m + 4)(m^2 - 5m + 6)$:

$\left(-\frac{49}{8} + 4\right)\left(-\frac{49}{8} + 6\right)$.

Приведем целые числа в скобках к общему знаменателю 8:

$\left(-\frac{49}{8} + \frac{32}{8}\right)\left(-\frac{49}{8} + \frac{48}{8}\right) = \left(\frac{-49+32}{8}\right)\left(\frac{-49+48}{8}\right) = \left(-\frac{17}{8}\right)\left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{17}{64}$.

Ответ: $\frac{17}{64}$

379 РАССУЖДАЕМ

На какое выражение нужно умножить данный двучлен, чтобы получившееся произведение не содержало радикалов? Проверьте себя, выполнив умножение:

1) $(2 + \sqrt{3}) \cdot \dots$;

2) $(2\sqrt{5} - 1) \cdot \dots$;

3) $(\sqrt{7} - \sqrt{5}) \cdot \dots$;

4) $(x + a\sqrt{y}) \cdot \dots$;

5) $\sqrt{m} + \sqrt{n}$;

6) $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

Каков общий приём выполнения этого задания?

1) Чтобы избавиться от радикала в выражении $(2 + \sqrt{3})$, его необходимо умножить на сопряженное ему выражение, которым является $(2 - \sqrt{3})$. При умножении используется формула разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, что позволяет избавиться от корня.
Проверка умножением:
$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Полученное произведение не содержит радикалов.
Ответ: нужно умножить на выражение $(2 - \sqrt{3})$.

2) Для двучлена $(2\sqrt{5} - 1)$ сопряженным является выражение $(2\sqrt{5} + 1)$.
Проверка умножением:
$(2\sqrt{5} - 1)(2\sqrt{5} + 1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = (4 \cdot 5) - 1 = 20 - 1 = 19$.
Полученное произведение не содержит радикалов.
Ответ: нужно умножить на выражение $(2\sqrt{5} + 1)$.

3) Для двучлена $(\sqrt{7} - \sqrt{5})$ сопряженным является выражение $(\sqrt{7} + \sqrt{5})$.
Проверка умножением:
$(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$.
Полученное произведение не содержит радикалов.
Ответ: нужно умножить на выражение $(\sqrt{7} + \sqrt{5})$.

4) Для двучлена $(x + a\sqrt{y})$ сопряженным является выражение $(x - a\sqrt{y})$.
Проверка умножением:
$(x + a\sqrt{y})(x - a\sqrt{y}) = x^2 - (a\sqrt{y})^2 = x^2 - a^2y$.
Полученное произведение не содержит радикалов.
Ответ: нужно умножить на выражение $(x - a\sqrt{y})$.

5) Для двучлена $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ сопряженным является выражение $\sqrt{m} - \sqrt{n}$.
Проверка умножением:
$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n$.
Полученное произведение не содержит радикалов.
Ответ: нужно умножить на выражение $\sqrt{m} - \sqrt{n}$.

6) Для двучлена $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ сопряженным является выражение $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Проверка умножением:
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.
Полученное произведение не содержит радикалов.
Ответ: нужно умножить на выражение $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Каков общий приём выполнения этого задания?
Общий приём для решения этой задачи — умножение исходного двучлена на сопряженное ему выражение.
Сопряженным для выражения вида $(A + B)$ является выражение $(A - B)$.
Сопряженным для выражения вида $(A - B)$ является выражение $(A + B)$.
Этот метод основан на формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$. Применение этой формулы позволяет избавиться от знака квадратного корня (радикала), поскольку возведение корня в квадрат дает подкоренное выражение, например, $(\sqrt{x})^2 = x$. В результате произведение становится рациональным числом (или выражением, не содержащим радикалов).

380 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби (примените результаты упражнения 379):

a) $ \frac{1}{2+\sqrt{3}} $;

в) $ \frac{7-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} $;

д) $ \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{10}-3} $;

б) $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} $;

г) $ \frac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{\sqrt{11}-\sqrt{5}} $;

е) $ \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+3\sqrt{3}} $;

Образец. $ \frac{2}{2+\sqrt{6}} = \frac{2(2-\sqrt{6})}{(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})} = \frac{2(2-\sqrt{6})}{-2} = \sqrt{6}-2. $

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $2-\sqrt{3}$. Применяем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$.
Ответ: $2-\sqrt{3}$.

б) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{3+\sqrt{6}}{3-2} = \frac{3+\sqrt{6}}{1} = 3+\sqrt{6}$.
Ответ: $3+\sqrt{6}$.

в) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{7-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3-\sqrt{5}$.
$\frac{7-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{(7-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{7 \cdot 3 - 7\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{21 - 10\sqrt{5} + 5}{9-5} = \frac{26-10\sqrt{5}}{4} = \frac{2(13-5\sqrt{5})}{4} = \frac{13-5\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $\frac{13-5\sqrt{5}}{2}$.

г) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{\sqrt{11}-\sqrt{5}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{11}+\sqrt{5}$.
$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{\sqrt{11}-\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{11}+\sqrt{5})(\sqrt{11}+\sqrt{5})}{(\sqrt{11}-\sqrt{5})(\sqrt{11}+\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{11}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{(\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{11-5} = \frac{11+2\sqrt{55}+5}{6} = \frac{16+2\sqrt{55}}{6} = \frac{2(8+\sqrt{55})}{6} = \frac{8+\sqrt{55}}{3}$.
Ответ: $\frac{8+\sqrt{55}}{3}$.

д) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{10}-3}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{10}+3$.
$\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{10}-3} = \frac{(1+\sqrt{3})(\sqrt{10}+3)}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)} = \frac{1 \cdot \sqrt{10} + 1 \cdot 3 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{10} + \sqrt{3} \cdot 3}{(\sqrt{10})^2 - 3^2} = \frac{\sqrt{10}+3+\sqrt{30}+3\sqrt{3}}{10-9} = \frac{3+3\sqrt{3}+\sqrt{10}+\sqrt{30}}{1} = 3+3\sqrt{3}+\sqrt{10}+\sqrt{30}$.
Ответ: $3+3\sqrt{3}+\sqrt{10}+\sqrt{30}$.

е) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}$, представим знаменатель в виде $3\sqrt{3}+\sqrt{2}$ и умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(3\sqrt{3}-\sqrt{2})(3\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(3\sqrt{3}+\sqrt{2})(3\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{(3\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{(3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{9 \cdot 3 - 2} = \frac{27 - 6\sqrt{6} + 2}{27-2} = \frac{29-6\sqrt{6}}{25}$.
Ответ: $\frac{29-6\sqrt{6}}{25}$.

ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (381–382)

381 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{1}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}} $;

б) $ \frac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}} $.

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}} $, сгруппируем слагаемые в знаменателе и домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Этот метод основан на формуле разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.
Сгруппируем знаменатель следующим образом: $ (1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6} $. Сопряженным к нему будет выражение $ (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6} $.
Умножим числитель и знаменатель дроби на это выражение:
$ \frac{1}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}} = \frac{1}{(1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6}} \cdot \frac{(1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6}}{(1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6}} = \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{((1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6})((1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6})} $
Применим формулу разности квадратов к знаменателю:
$ (1 + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2 = (1^2 + 2\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) - 6 = (1 + 2\sqrt{5} + 5) - 6 = 6 + 2\sqrt{5} - 6 = 2\sqrt{5} $
Теперь наша дробь имеет вид:
$ \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{2\sqrt{5}} $
В знаменателе все еще есть иррациональность. Чтобы избавиться от $ \sqrt{5} $, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:
$ \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{(1 + \sqrt{5} + \sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5} + 5 + \sqrt{30}}{10} $
Ответ: $ \frac{5 + \sqrt{5} + \sqrt{30}}{10} $

б) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}} $, применим тот же метод, что и в пункте а).
Сгруппируем слагаемые в знаменателе: $ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5} $. Сопряженным к нему будет выражение $ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5} $.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
$ \frac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{12}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}} \cdot \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}} = \frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} $
Преобразуем знаменатель, используя формулу квадрата суммы и разности квадратов:
$ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = ((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - 5 = (2 + 2\sqrt{6} + 3) - 5 = 5 + 2\sqrt{6} - 5 = 2\sqrt{6} $
Дробь примет вид:
$ \frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{2\sqrt{6}} $
Сократим дробь на 2:
$ \frac{6(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}} $
Теперь избавимся от иррациональности $ \sqrt{6} $ в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{6} $:
$ \frac{6(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{6(\sqrt{2}\sqrt{6} + \sqrt{3}\sqrt{6} + \sqrt{5}\sqrt{6})}{(\sqrt{6})^2} = \frac{6(\sqrt{12} + \sqrt{18} + \sqrt{30})}{6} $
Сократим дробь на 6:
$ \sqrt{12} + \sqrt{18} + \sqrt{30} $
Упростим корни, вынеся множители из-под знака корня:
$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $
$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $
Таким образом, получаем:
$ 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{30} $
Ответ: $ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{30} $

382 Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):

a) $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{\sqrt{ab}}{a}$

б) $\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y}$

а) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{\sqrt{ab}}{a} $, где $a$ и $b$ — положительные числа.

Для начала преобразуем каждый член выражения, используя свойства квадратных корней ($ \sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} $) и тот факт, что для любого положительного числа $z$ выполняется равенство $z = (\sqrt{z})^2$.

1. Первый член: $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.

2. Второй член: $ \sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} $.

3. Третий член: $ \frac{\sqrt{ab}}{a} $. Заменим $a$ на $(\sqrt{a})^2$ и $ \sqrt{ab} $ на $ \sqrt{a}\sqrt{b} $: $ \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} $.

Теперь подставим преобразованные члены обратно в исходное выражение: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} $.

Видно, что второй и третий члены являются противоположными и в сумме дают ноль: $ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = 0 $.

Следовательно, все выражение упрощается до первого члена: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $, что также можно записать в виде $ \sqrt{\frac{a}{b}} $.

Ответ: $ \sqrt{\frac{a}{b}} $.

б) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y} $, где $x$ и $y$ — положительные числа.

Преобразуем каждый член выражения по аналогии с предыдущим пунктом.

1. $ \sqrt{\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} $.

2. $ \sqrt{\frac{1}{y}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}} $.

3. $ \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{1}{\sqrt{x}} $.

4. $ \frac{\sqrt{y}}{y} = \frac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y})^2} = \frac{1}{\sqrt{y}} $.

Подставим полученные выражения в исходное: $ \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} $.

Сгруппируем подобные слагаемые: $ \left(\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{y}}\right) $.

Выполним вычисления: $ 0 + \frac{2}{\sqrt{y}} = \frac{2}{\sqrt{y}} $.

Для приведения ответа к стандартному виду избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{y} $: $ \frac{2 \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{2\sqrt{y}}{y} $.

Ответ: $ \frac{2\sqrt{y}}{y} $.

383 ДОКАЗЫВАЕМ

1) Докажите, что верно равенство:

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} = \sqrt{5}-1.$

Подсказка. Освободитесь от иррациональности в знаменателе каждой дроби.

2) Упростите выражение:

а) $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}};$

б) $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}.$

1) Для доказательства равенства преобразуем каждое слагаемое в левой части, избавившись от иррациональности в знаменателе. Общий приём для дроби вида $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ — это домножение числителя и знаменателя на сопряженное выражение, в данном случае на $\sqrt{b}-\sqrt{a}$.

Рассмотрим общий член суммы $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$:

$\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому исходной суммы, учитывая, что $1 = \sqrt{1}$:

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} = $

$= (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + (\sqrt{5}-\sqrt{4})$

Это является телескопической суммой, в которой соседние слагаемые с противоположными знаками взаимно уничтожаются:

$= -\sqrt{1} + (\sqrt{2}-\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (\sqrt{4}-\sqrt{4}) + \sqrt{5}$

$= -1 + 0 + 0 + 0 + \sqrt{5} = \sqrt{5}-1$.

Мы получили, что левая часть равенства равна $\sqrt{5}-1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2)

а) Упростим выражение, используя тот же метод, что и в задаче 1. Каждое слагаемое вида $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$ равно $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.

Исходная сумма: $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$.

Представим сумму в преобразованном виде:

$(\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{100}-\sqrt{99})$.

Это телескопическая сумма. После взаимного уничтожения всех промежуточных слагаемых остаются только первый член из первого выражения и второй член из последнего выражения:

$-\sqrt{1} + \sqrt{100} = -1 + 10 = 9$.

Ответ: 9.

б) Упростим выражение аналогично предыдущим пунктам. Сумма имеет вид:

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$.

Используя преобразование $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ для каждого слагаемого, где $k$ изменяется от 1 до $n-1$, получим сумму:

$(\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$.

В этой телескопической сумме все промежуточные члены сокращаются. Остаются только $-\sqrt{1}$ от первого слагаемого и $\sqrt{n}$ от последнего:

$-\sqrt{1} + \sqrt{n} = \sqrt{n}-1$.

Ответ: $\sqrt{n}-1$.