Номер 383, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 383, страница 103.

Условие.

383 ДОКАЗЫВАЕМ

1) Докажите, что верно равенство:

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} = \sqrt{5}-1.$

Подсказка. Освободитесь от иррациональности в знаменателе каждой дроби.

2) Упростите выражение:

а) $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}};$

б) $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для доказательства равенства преобразуем каждое слагаемое в левой части, избавившись от иррациональности в знаменателе. Общий приём для дроби вида $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ — это домножение числителя и знаменателя на сопряженное выражение, в данном случае на $\sqrt{b}-\sqrt{a}$.

Рассмотрим общий член суммы $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$:

$\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому исходной суммы, учитывая, что $1 = \sqrt{1}$:

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} = $

$= (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + (\sqrt{5}-\sqrt{4})$

Это является телескопической суммой, в которой соседние слагаемые с противоположными знаками взаимно уничтожаются:

$= -\sqrt{1} + (\sqrt{2}-\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (\sqrt{4}-\sqrt{4}) + \sqrt{5}$

$= -1 + 0 + 0 + 0 + \sqrt{5} = \sqrt{5}-1$.

Мы получили, что левая часть равенства равна $\sqrt{5}-1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2)

а) Упростим выражение, используя тот же метод, что и в задаче 1. Каждое слагаемое вида $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$ равно $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.

Исходная сумма: $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$.

Представим сумму в преобразованном виде:

$(\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{100}-\sqrt{99})$.

Это телескопическая сумма. После взаимного уничтожения всех промежуточных слагаемых остаются только первый член из первого выражения и второй член из последнего выражения:

$-\sqrt{1} + \sqrt{100} = -1 + 10 = 9$.

Ответ: 9.

б) Упростим выражение аналогично предыдущим пунктам. Сумма имеет вид:

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$.

Используя преобразование $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ для каждого слагаемого, где $k$ изменяется от 1 до $n-1$, получим сумму:

$(\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$.

В этой телескопической сумме все промежуточные члены сокращаются. Остаются только $-\sqrt{1}$ от первого слагаемого и $\sqrt{n}$ от последнего:

$-\sqrt{1} + \sqrt{n} = \sqrt{n}-1$.

Ответ: $\sqrt{n}-1$.