Номер 380, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 380, страница 103.

Условие.

380 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби (примените результаты упражнения 379):

a) $ \frac{1}{2+\sqrt{3}} $;

в) $ \frac{7-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} $;

д) $ \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{10}-3} $;

б) $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} $;

г) $ \frac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{\sqrt{11}-\sqrt{5}} $;

е) $ \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+3\sqrt{3}} $;

Образец. $ \frac{2}{2+\sqrt{6}} = \frac{2(2-\sqrt{6})}{(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})} = \frac{2(2-\sqrt{6})}{-2} = \sqrt{6}-2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $2-\sqrt{3}$. Применяем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$.
Ответ: $2-\sqrt{3}$.

б) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{3+\sqrt{6}}{3-2} = \frac{3+\sqrt{6}}{1} = 3+\sqrt{6}$.
Ответ: $3+\sqrt{6}$.

в) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{7-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3-\sqrt{5}$.
$\frac{7-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{(7-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{7 \cdot 3 - 7\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{21 - 10\sqrt{5} + 5}{9-5} = \frac{26-10\sqrt{5}}{4} = \frac{2(13-5\sqrt{5})}{4} = \frac{13-5\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $\frac{13-5\sqrt{5}}{2}$.

г) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{\sqrt{11}-\sqrt{5}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{11}+\sqrt{5}$.
$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{\sqrt{11}-\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{11}+\sqrt{5})(\sqrt{11}+\sqrt{5})}{(\sqrt{11}-\sqrt{5})(\sqrt{11}+\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{11}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{(\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{11-5} = \frac{11+2\sqrt{55}+5}{6} = \frac{16+2\sqrt{55}}{6} = \frac{2(8+\sqrt{55})}{6} = \frac{8+\sqrt{55}}{3}$.
Ответ: $\frac{8+\sqrt{55}}{3}$.

д) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{10}-3}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{10}+3$.
$\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{10}-3} = \frac{(1+\sqrt{3})(\sqrt{10}+3)}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)} = \frac{1 \cdot \sqrt{10} + 1 \cdot 3 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{10} + \sqrt{3} \cdot 3}{(\sqrt{10})^2 - 3^2} = \frac{\sqrt{10}+3+\sqrt{30}+3\sqrt{3}}{10-9} = \frac{3+3\sqrt{3}+\sqrt{10}+\sqrt{30}}{1} = 3+3\sqrt{3}+\sqrt{10}+\sqrt{30}$.
Ответ: $3+3\sqrt{3}+\sqrt{10}+\sqrt{30}$.

е) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}$, представим знаменатель в виде $3\sqrt{3}+\sqrt{2}$ и умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(3\sqrt{3}-\sqrt{2})(3\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(3\sqrt{3}+\sqrt{2})(3\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{(3\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{(3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{9 \cdot 3 - 2} = \frac{27 - 6\sqrt{6} + 2}{27-2} = \frac{29-6\sqrt{6}}{25}$.
Ответ: $\frac{29-6\sqrt{6}}{25}$.