Номер 373, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 373, страница 102.

Условие.

373 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{6}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{6}} = 3;$

б) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = 2;$

в) $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Сгруппируем сомножители под один знак корня:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{6}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{6}} = \sqrt{3 \cdot (3 + \sqrt{6}) \cdot (3 - \sqrt{6})}$

Сначала вычислим произведение скобок в подкоренном выражении:

$(3 + \sqrt{6}) \cdot (3 - \sqrt{6}) = 3^2 - (\sqrt{6})^2 = 9 - 6 = 3$.

Подставим результат обратно в исходное выражение:

$\sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$.

Левая часть равна $3$, правая часть равна $3$. Равенство $3 = 3$ верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем это равенство, последовательно упрощая левую часть, начиная с двух последних сомножителей. Будем многократно применять формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

1. Упростим произведение последних двух множителей:

$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \sqrt{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}})(2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2 + \sqrt{2}})^2} = \sqrt{4 - (2 + \sqrt{2})} = \sqrt{2 - \sqrt{2}}$.

2. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$. Снова упростим произведение последних двух множителей:

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} = \sqrt{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$.

3. Выражение свелось к: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$.

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$.

Левая часть равна $2$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

в) Будем действовать по аналогии с предыдущим примером, последовательно упрощая выражение слева, начиная с конца, с помощью формулы разности квадратов.

1. Упростим произведение последних двух множителей:

$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}})^2} = \sqrt{4 - (2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}})} = \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}$.

2. Левая часть исходного выражения теперь равна:

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}$.

Снова упростим произведение последних двух множителей:

$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (2 + \sqrt{3})} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$.

3. Выражение упростилось до:

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}$.

Применим формулу разности квадратов в последний раз:

$\sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$.

Левая часть равна $1$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.