Номер 368, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 368, страница 101.

Условие.

Упростите выражение (368–369).

368 a) $(\sqrt{28} - 3\sqrt{5}) - (\sqrt{7} + \sqrt{20})$

б) $(3\sqrt{32} - 2\sqrt{18}) + (\sqrt{50} - 2\sqrt{8})$

в) $(\sqrt{27} - 3\sqrt{45} - \sqrt{20}) - (3\sqrt{12} - 2\sqrt{80})$

г) $(3\sqrt{60} - 2\sqrt{54}) + (4\sqrt{15} + 6\sqrt{6} - \sqrt{600})$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(\sqrt{28} - 3\sqrt{5}) - (\sqrt{7} + \sqrt{20})$

Для упрощения данного выражения сначала упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(2\sqrt{7} - 3\sqrt{5}) - (\sqrt{7} + 2\sqrt{5})$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:

$2\sqrt{7} - 3\sqrt{5} - \sqrt{7} - 2\sqrt{5}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковыми подкоренными выражениями):

$(2\sqrt{7} - \sqrt{7}) + (-3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) = (2-1)\sqrt{7} + (-3-2)\sqrt{5} = \sqrt{7} - 5\sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{7} - 5\sqrt{5}$

б) $(3\sqrt{32} - 2\sqrt{18}) + (\sqrt{50} - 2\sqrt{8})$

Упростим каждый корень в выражении:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Подставим упрощенные корни в выражение и выполним умножение:

$(3 \cdot 4\sqrt{2} - 2 \cdot 3\sqrt{2}) + (5\sqrt{2} - 2 \cdot 2\sqrt{2}) = (12\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) + (5\sqrt{2} - 4\sqrt{2})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$12\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (12 - 6 + 5 - 4)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

Ответ: $7\sqrt{2}$

в) $(\sqrt{27} - 3\sqrt{45} - \sqrt{20}) - (3\sqrt{12} - 2\sqrt{80})$

Сначала упростим все корни в выражении:

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(3\sqrt{3} - 3 \cdot 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) - (3 \cdot 2\sqrt{3} - 2 \cdot 4\sqrt{5}) = (3\sqrt{3} - 9\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) - (6\sqrt{3} - 8\sqrt{5})$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(3\sqrt{3} - 11\sqrt{5}) - (6\sqrt{3} - 8\sqrt{5})$

Теперь раскроем скобки, изменяя знаки во второй скобке:

$3\sqrt{3} - 11\sqrt{5} - 6\sqrt{3} + 8\sqrt{5}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3\sqrt{3} - 6\sqrt{3}) + (-11\sqrt{5} + 8\sqrt{5}) = (3-6)\sqrt{3} + (-11+8)\sqrt{5} = -3\sqrt{3} - 3\sqrt{5}$

Ответ: $-3\sqrt{3} - 3\sqrt{5}$

г) $(3\sqrt{60} - 2\sqrt{54}) + (4\sqrt{15} + 6\sqrt{6} - \sqrt{600})$

Упростим каждый корень, где это возможно:

$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$

$\sqrt{600} = \sqrt{100 \cdot 6} = 10\sqrt{6}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение и выполним умножение:

$(3 \cdot 2\sqrt{15} - 2 \cdot 3\sqrt{6}) + (4\sqrt{15} + 6\sqrt{6} - 10\sqrt{6}) = (6\sqrt{15} - 6\sqrt{6}) + (4\sqrt{15} + 6\sqrt{6} - 10\sqrt{6})$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых не меняются:

$6\sqrt{15} - 6\sqrt{6} + 4\sqrt{15} + 6\sqrt{6} - 10\sqrt{6}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6\sqrt{15} + 4\sqrt{15}) + (-6\sqrt{6} + 6\sqrt{6} - 10\sqrt{6}) = (6+4)\sqrt{15} + (-6+6-10)\sqrt{6} = 10\sqrt{15} - 10\sqrt{6}$

Ответ: $10\sqrt{15} - 10\sqrt{6}$