Номер 366, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 366, страница 101.

Условие.

Примените равенство $\sqrt{x^2} = |x|$ для преобразования выражений (366—367).

366 Упростите выражение:

а) $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}$; б) $\sqrt{(2-\sqrt{7})^2}$; в) $\sqrt{(1-\sqrt{5})^2}$; г) $\sqrt{(\sqrt{10}-3)^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для упрощения данных выражений мы воспользуемся тождеством $\sqrt{x^2} = |x|$, которое гласит, что квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Модуль числа $|x|$ определяется следующим образом:

• $|x| = x$, если $x \ge 0$ (модуль неотрицательного числа равен самому числу).
• $|x| = -x$, если $x < 0$ (модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу).

а)

Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2}$.
Согласно тождеству $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1|$.
Теперь нужно определить знак выражения под модулем. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $1$.
Поскольку $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, следовательно, $\sqrt{3} > 1$.
Значит, разность $\sqrt{3} - 1$ положительна.
Так как выражение под знаком модуля положительно, модуль раскрывается со знаком "плюс":
$|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$.
Ответ: $\sqrt{3} - 1$

б)

Упростим выражение $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2}$.
Применяем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}|$.
Определим знак выражения под модулем. Для этого сравним числа $2$ и $\sqrt{7}$. Сравним их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$.
Поскольку $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$.
Значит, разность $2 - \sqrt{7}$ отрицательна.
Так как выражение под знаком модуля отрицательно, модуль раскрывается со знаком "минус":
$|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = -2 + \sqrt{7} = \sqrt{7} - 2$.
Ответ: $\sqrt{7} - 2$

в)

Упростим выражение $\sqrt{(1 - \sqrt{5})^2}$.
Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(1 - \sqrt{5})^2} = |1 - \sqrt{5}|$.
Определим знак выражения под модулем. Сравним числа $1$ и $\sqrt{5}$. Сравним их квадраты: $1^2 = 1$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Поскольку $1 < 5$, то $1 < \sqrt{5}$.
Значит, разность $1 - \sqrt{5}$ отрицательна.
Раскрываем модуль со знаком "минус":
$|1 - \sqrt{5}| = -(1 - \sqrt{5}) = -1 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 1$.
Ответ: $\sqrt{5} - 1$

г)

Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2}$.
По тождеству $\sqrt{x^2} = |x|$ имеем:
$\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} = |\sqrt{10} - 3|$.
Определим знак выражения под модулем. Сравним числа $\sqrt{10}$ и $3$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{10})^2 = 10$ и $3^2 = 9$.
Поскольку $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$.
Значит, разность $\sqrt{10} - 3$ положительна.
Раскрываем модуль со знаком "плюс":
$|\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3$.
Ответ: $\sqrt{10} - 3$