Номер 372, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 372, страница 102.

Условие.

372 a) $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}$;

б) $\sqrt{4 - \sqrt{7}} \cdot \sqrt{4 + \sqrt{7}};$

в) $\frac{\sqrt{30 - \sqrt{5}}}{5} \cdot \frac{\sqrt{30 + \sqrt{5}}}{5}$;

г) $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{15}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{15 - \sqrt{3}}}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$

Чтобы перемножить квадратные корни, можно перемножить их подкоренные выражения. Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

Выражение в скобках представляет собой формулу разности квадратов: $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=2$ и $y=\sqrt{3}$.

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

Подставим полученный результат обратно под знак корня:

$\sqrt{1} = 1$

Ответ: $1$

б) $\sqrt{4-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}}$

Используем то же свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{4-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}} = \sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$

Под корнем снова формула разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=4$ и $y=\sqrt{7}$.

$(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7}) = 4^2 - (\sqrt{7})^2 = 16 - 7 = 9$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{9} = 3$

Ответ: $3$

в) $\frac{\sqrt{\sqrt{30}-\sqrt{5}}}{5} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{30}+\sqrt{5}}}{5}$

Чтобы перемножить дроби, перемножим их числители и знаменатели:

$\frac{\sqrt{\sqrt{30}-\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{30}+\sqrt{5}}}{5 \cdot 5} = \frac{\sqrt{(\sqrt{30}-\sqrt{5})(\sqrt{30}+\sqrt{5})}}{25}$

Раскроем скобки в числителе по формуле разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=\sqrt{30}$ и $y=\sqrt{5}$:

$(\sqrt{30}-\sqrt{5})(\sqrt{30}+\sqrt{5}) = (\sqrt{30})^2 - (\sqrt{5})^2 = 30 - 5 = 25$

Подставим результат в числитель дроби:

$\frac{\sqrt{25}}{25} = \frac{5}{25}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

г) $\frac{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{15}-\sqrt{3}}}{3}$

Перемножим дроби, умножая числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:

$\frac{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{15}} \cdot \sqrt{\sqrt{15}-\sqrt{3}}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{(\sqrt{15}+\sqrt{3})(\sqrt{15}-\sqrt{3})}}{6}$

В числителе под корнем находится произведение, которое можно раскрыть по формуле разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=\sqrt{15}$ и $y=\sqrt{3}$:

$(\sqrt{15}+\sqrt{3})(\sqrt{15}-\sqrt{3}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{3})^2 = 15 - 3 = 12$

Подставим полученное значение в числитель:

$\frac{\sqrt{12}}{6}$

Упростим корень в числителе, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Подставим упрощенный корень в дробь и сократим её:

$\frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$