Номер 367, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 367, страница 101.

Условие.

367 Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):

а) $\sqrt{49a^2}$;

б) $\sqrt{3n^2}$;

в) $\sqrt{8x^2}$;

г) $\sqrt{\frac{m^2}{4}} $;

д) $\sqrt{\frac{y^2}{2}} $;

е) $\sqrt{12a^3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{49a^2}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.
$\sqrt{49a^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a^2} = 7 \cdot |a|$.
По условию, $a$ - положительное число ($a > 0$), поэтому $|a| = a$.
Следовательно, $\sqrt{49a^2} = 7a$.
Ответ: $7a$.

б) Упростим выражение $\sqrt{3n^2}$.
Используя свойство корня из произведения, получаем: $\sqrt{3n^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{n^2} = \sqrt{3} \cdot |n|$.
Так как по условию $n > 0$, то $|n| = n$.
Таким образом, $\sqrt{3n^2} = n\sqrt{3}$.
Ответ: $n\sqrt{3}$.

в) Упростим выражение $\sqrt{8x^2}$.
Сначала разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить полные квадраты: $8 = 4 \cdot 2$.
$\sqrt{8x^2} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot |x| \cdot \sqrt{2}$.
По условию $x > 0$, значит $|x| = x$.
Получаем: $2x\sqrt{2}$.
Ответ: $2x\sqrt{2}$.

г) Упростим выражение $\sqrt{\frac{m^2}{4}}$.
Воспользуемся свойством корня из частного: $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$.
$\sqrt{\frac{m^2}{4}} = \frac{\sqrt{m^2}}{\sqrt{4}} = \frac{|m|}{2}$.
Так как по условию $m > 0$, то $|m| = m$.
Следовательно, $\sqrt{\frac{m^2}{4}} = \frac{m}{2}$.
Ответ: $\frac{m}{2}$.

д) Упростим выражение $\sqrt{\frac{y^2}{2}}$.
Используя свойство корня из частного, получаем: $\sqrt{\frac{y^2}{2}} = \frac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|y|}{\sqrt{2}}$.
По условию $y > 0$, поэтому $|y| = y$.
Выражение принимает вид $\frac{y}{\sqrt{2}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$: $\frac{y \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{y\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{y\sqrt{2}}{2}$.

е) Упростим выражение $\sqrt{12a^3}$.
Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты: $12 = 4 \cdot 3$ и $a^3 = a^2 \cdot a$.
$\sqrt{12a^3} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{4 \cdot a^2 \cdot 3a}$.
Используя свойство корня из произведения, вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{4a^2 \cdot 3a} = \sqrt{4a^2} \cdot \sqrt{3a} = \sqrt{(2a)^2} \cdot \sqrt{3a} = |2a|\sqrt{3a}$.
По условию $a > 0$, значит $2a > 0$, и $|2a| = 2a$.
Таким образом, $\sqrt{12a^3} = 2a\sqrt{3a}$.
Ответ: $2a\sqrt{3a}$.