Страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

362 Найдите площадь прямоугольника, если:

а) его периметр равен 6 см, а одна из сторон $\sqrt{2}$ см;

б) его периметр равен 14 см, а одна из сторон $3 + \sqrt{2}$ см.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, а его площадь по формуле $S = a \cdot b$.
По условию задачи, периметр $P = 6$ см, а одна из сторон, например $a$, равна $\sqrt{2}$ см. Подставим эти значения в формулу периметра, чтобы найти длину второй стороны $b$:
$6 = 2(\sqrt{2} + b)$
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
$3 = \sqrt{2} + b$
Отсюда $b = 3 - \sqrt{2}$ см.
Теперь, зная длины обеих сторон, можем вычислить площадь:
$S = a \cdot b = \sqrt{2} \cdot (3 - \sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - (\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{2} - 2$ см².

Ответ: $3\sqrt{2} - 2$ см².

б) По условию, периметр прямоугольника $P = 14$ см, а одна из его сторон, пусть $a$, равна $3 + \sqrt{2}$ см.
Найдем вторую сторону $b$, используя формулу периметра $P = 2(a + b)$:
$14 = 2((3 + \sqrt{2}) + b)$
Разделим обе части на 2:
$7 = 3 + \sqrt{2} + b$
Отсюда $b = 7 - (3 + \sqrt{2}) = 7 - 3 - \sqrt{2} = 4 - \sqrt{2}$ см.
Теперь вычислим площадь, перемножив стороны:
$S = a \cdot b = (3 + \sqrt{2})(4 - \sqrt{2})$
Раскроем скобки:
$S = 3 \cdot 4 - 3 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 4 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12 - 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 2$
Приведем подобные слагаемые:
$S = (12 - 2) + (4\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) = 10 + \sqrt{2}$ см².

Ответ: $10 + \sqrt{2}$ см².

363 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{2}{\sqrt{3}} $;

б) $ \frac{16}{\sqrt{2}} $;

в) $ \frac{1}{\sqrt{5}} $;

г) $ \frac{7}{\sqrt{7}} $;

д) $ \frac{5}{2\sqrt{3}} $;

е) $ \frac{2}{3\sqrt{2}} $;

ж) $ \frac{7}{3\sqrt{7}} $;

з) $ \frac{4}{3\sqrt{6}} $.

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2}{\sqrt{3}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $ \sqrt{3} $. Это основное свойство дроби: умножение числителя и знаменателя на одно и то же число, не равное нулю, не изменяет значения дроби.
$ \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $

б) Для дроби $ \frac{16}{\sqrt{2}} $ умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.
$ \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} $.
Теперь можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.
$ \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} $.
Ответ: $ 8\sqrt{2} $

в) Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{1}{\sqrt{5}} $ на $ \sqrt{5} $.
$ \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5}}{5} $

г) Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{7}{\sqrt{7}} $ на $ \sqrt{7} $.
$ \frac{7}{\sqrt{7}} = \frac{7 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{7} $.
Сокращаем дробь на 7.
$ \frac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7} $.
Ответ: $ \sqrt{7} $

д) В дроби $ \frac{5}{2\sqrt{3}} $ иррациональной частью знаменателя является $ \sqrt{3} $. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $.
$ \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5\sqrt{3}}{6} $.
Ответ: $ \frac{5\sqrt{3}}{6} $

е) Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{2}{3\sqrt{2}} $ на $ \sqrt{2} $.
$ \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{6} $.
Сократим полученную дробь на 2.
$ \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{3} $

ж) Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{7}{3\sqrt{7}} $ на $ \sqrt{7} $.
$ \frac{7}{3\sqrt{7}} = \frac{7 \cdot \sqrt{7}}{3\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{3 \cdot 7} = \frac{7\sqrt{7}}{21} $.
Сократим дробь на 7.
$ \frac{7\sqrt{7}}{21} = \frac{\sqrt{7}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{7}}{3} $

з) Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{4}{3\sqrt{6}} $ на $ \sqrt{6} $.
$ \frac{4}{3\sqrt{6}} = \frac{4 \cdot \sqrt{6}}{3\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{3 \cdot 6} = \frac{4\sqrt{6}}{18} $.
Сократим дробь на 2.
$ \frac{4\sqrt{6}}{18} = \frac{2\sqrt{6}}{9} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{6}}{9} $

364 Из приведённых ниже выражений выберите выражения, равные $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$:

$\frac{\sqrt{6}}{2}$, $\frac{3}{2}$, $\sqrt{\frac{3}{2}}$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\frac{3}{\sqrt{6}}$.

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений равны $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $, мы сначала упростим исходное выражение, а затем поочередно сравним с ним каждое из предложенных.

Основной способ упрощения — избавление от иррациональности (квадратного корня) в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{2} $:

$ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} $

Итак, мы будем сравнивать каждое выражение с $ \frac{\sqrt{6}}{2} $.

$ \frac{\sqrt{6}}{2} $

Это выражение идентично тому, которое мы получили после преобразования исходного выражения. Следовательно, они равны.

Ответ: выражение равно $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

$ \frac{3}{2} $

Сравним $ \frac{3}{2} $ с $ \frac{\sqrt{6}}{2} $. Для этого достаточно сравнить их числители: $ 3 $ и $ \sqrt{6} $. Возведем оба числа в квадрат: $ 3^2 = 9 $, а $ (\sqrt{6})^2 = 6 $. Поскольку $ 9 \neq 6 $, то и $ 3 \neq \sqrt{6} $. Значит, выражения не равны.

Ответ: выражение не равно $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

$ \frac{\sqrt{3}}{2} $

Сравним $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ с $ \frac{\sqrt{6}}{2} $. Так как числители $ \sqrt{3} \neq \sqrt{6} $, то и выражения не равны.

Ответ: выражение не равно $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

$ \sqrt{\frac{2}{3}} $

Используя свойство корня $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $, запишем выражение как $ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $. Это выражение является обратным к исходному $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $, поэтому они не равны.

Ответ: выражение не равно $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

$ \frac{3}{\sqrt{6}} $

Упростим это выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{6} $:

$ \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} $

Теперь сократим дробь на 3:

$ \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} $

Полученный результат $ \frac{\sqrt{6}}{2} $ совпадает с нашим преобразованным исходным выражением.

Ответ: выражение равно $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

365 Какое из следующих выражений не равно дроби $ \frac{3}{\sqrt{12}} $?

1) $ \frac{3}{2\sqrt{3}} $

2) $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

3) $ \frac{\sqrt{12}}{4} $

4) $ \frac{3\sqrt{3}}{2} $

Чтобы определить, какое из предложенных выражений не равно дроби $\frac{3}{\sqrt{12}}$, сначала необходимо упростить исходное выражение.

1. Упрощение исходной дроби

Исходная дробь: $\frac{3}{\sqrt{12}}$

Знаменатель дроби можно упростить, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Таким образом, исходная дробь преобразуется к виду:

$\frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Далее, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$\frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Итак, исходное выражение $\frac{3}{\sqrt{12}}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Сравнение с предложенными вариантами

Теперь проверим каждое из предложенных выражений, приведя их к простейшему виду и сравнив с результатом $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) $\frac{3}{2\sqrt{3}}$

Мы уже выяснили при упрощении исходного выражения, что $\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, это выражение равно исходной дроби.

2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Это выражение полностью совпадает с упрощенным видом исходной дроби. Следовательно, оно равно исходной дроби.

3) $\frac{\sqrt{12}}{4}$

Упростим это выражение: $\frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, это выражение равно исходной дроби.

4) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Это выражение уже в упрощенном виде. Сравним его с результатом: $\frac{3\sqrt{3}}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, это выражение не равно исходной дроби.

Таким образом, единственное выражение, которое не равно дроби $\frac{3}{\sqrt{12}}$, находится под номером 4.

Ответ: 4

Примените равенство $\sqrt{x^2} = |x|$ для преобразования выражений (366—367).

366 Упростите выражение:

а) $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}$; б) $\sqrt{(2-\sqrt{7})^2}$; в) $\sqrt{(1-\sqrt{5})^2}$; г) $\sqrt{(\sqrt{10}-3)^2}$.

Для упрощения данных выражений мы воспользуемся тождеством $\sqrt{x^2} = |x|$, которое гласит, что квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Модуль числа $|x|$ определяется следующим образом:

• $|x| = x$, если $x \ge 0$ (модуль неотрицательного числа равен самому числу).
• $|x| = -x$, если $x < 0$ (модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу).

а)

Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2}$.
Согласно тождеству $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1|$.
Теперь нужно определить знак выражения под модулем. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $1$.
Поскольку $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, следовательно, $\sqrt{3} > 1$.
Значит, разность $\sqrt{3} - 1$ положительна.
Так как выражение под знаком модуля положительно, модуль раскрывается со знаком "плюс":
$|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$.
Ответ: $\sqrt{3} - 1$

б)

Упростим выражение $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2}$.
Применяем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}|$.
Определим знак выражения под модулем. Для этого сравним числа $2$ и $\sqrt{7}$. Сравним их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$.
Поскольку $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$.
Значит, разность $2 - \sqrt{7}$ отрицательна.
Так как выражение под знаком модуля отрицательно, модуль раскрывается со знаком "минус":
$|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = -2 + \sqrt{7} = \sqrt{7} - 2$.
Ответ: $\sqrt{7} - 2$

в)

Упростим выражение $\sqrt{(1 - \sqrt{5})^2}$.
Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(1 - \sqrt{5})^2} = |1 - \sqrt{5}|$.
Определим знак выражения под модулем. Сравним числа $1$ и $\sqrt{5}$. Сравним их квадраты: $1^2 = 1$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Поскольку $1 < 5$, то $1 < \sqrt{5}$.
Значит, разность $1 - \sqrt{5}$ отрицательна.
Раскрываем модуль со знаком "минус":
$|1 - \sqrt{5}| = -(1 - \sqrt{5}) = -1 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 1$.
Ответ: $\sqrt{5} - 1$

г)

Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2}$.
По тождеству $\sqrt{x^2} = |x|$ имеем:
$\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} = |\sqrt{10} - 3|$.
Определим знак выражения под модулем. Сравним числа $\sqrt{10}$ и $3$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{10})^2 = 10$ и $3^2 = 9$.
Поскольку $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$.
Значит, разность $\sqrt{10} - 3$ положительна.
Раскрываем модуль со знаком "плюс":
$|\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3$.
Ответ: $\sqrt{10} - 3$

367 Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):

а) $\sqrt{49a^2}$;

б) $\sqrt{3n^2}$;

в) $\sqrt{8x^2}$;

г) $\sqrt{\frac{m^2}{4}} $;

д) $\sqrt{\frac{y^2}{2}} $;

е) $\sqrt{12a^3} $.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{49a^2}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.
$\sqrt{49a^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a^2} = 7 \cdot |a|$.
По условию, $a$ - положительное число ($a > 0$), поэтому $|a| = a$.
Следовательно, $\sqrt{49a^2} = 7a$.
Ответ: $7a$.

б) Упростим выражение $\sqrt{3n^2}$.
Используя свойство корня из произведения, получаем: $\sqrt{3n^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{n^2} = \sqrt{3} \cdot |n|$.
Так как по условию $n > 0$, то $|n| = n$.
Таким образом, $\sqrt{3n^2} = n\sqrt{3}$.
Ответ: $n\sqrt{3}$.

в) Упростим выражение $\sqrt{8x^2}$.
Сначала разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить полные квадраты: $8 = 4 \cdot 2$.
$\sqrt{8x^2} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot |x| \cdot \sqrt{2}$.
По условию $x > 0$, значит $|x| = x$.
Получаем: $2x\sqrt{2}$.
Ответ: $2x\sqrt{2}$.

г) Упростим выражение $\sqrt{\frac{m^2}{4}}$.
Воспользуемся свойством корня из частного: $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$.
$\sqrt{\frac{m^2}{4}} = \frac{\sqrt{m^2}}{\sqrt{4}} = \frac{|m|}{2}$.
Так как по условию $m > 0$, то $|m| = m$.
Следовательно, $\sqrt{\frac{m^2}{4}} = \frac{m}{2}$.
Ответ: $\frac{m}{2}$.

д) Упростим выражение $\sqrt{\frac{y^2}{2}}$.
Используя свойство корня из частного, получаем: $\sqrt{\frac{y^2}{2}} = \frac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|y|}{\sqrt{2}}$.
По условию $y > 0$, поэтому $|y| = y$.
Выражение принимает вид $\frac{y}{\sqrt{2}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$: $\frac{y \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{y\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{y\sqrt{2}}{2}$.

е) Упростим выражение $\sqrt{12a^3}$.
Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты: $12 = 4 \cdot 3$ и $a^3 = a^2 \cdot a$.
$\sqrt{12a^3} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{4 \cdot a^2 \cdot 3a}$.
Используя свойство корня из произведения, вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{4a^2 \cdot 3a} = \sqrt{4a^2} \cdot \sqrt{3a} = \sqrt{(2a)^2} \cdot \sqrt{3a} = |2a|\sqrt{3a}$.
По условию $a > 0$, значит $2a > 0$, и $|2a| = 2a$.
Таким образом, $\sqrt{12a^3} = 2a\sqrt{3a}$.
Ответ: $2a\sqrt{3a}$.

Упростите выражение (368–369).

368 a) $(\sqrt{28} - 3\sqrt{5}) - (\sqrt{7} + \sqrt{20})$

б) $(3\sqrt{32} - 2\sqrt{18}) + (\sqrt{50} - 2\sqrt{8})$

в) $(\sqrt{27} - 3\sqrt{45} - \sqrt{20}) - (3\sqrt{12} - 2\sqrt{80})$

г) $(3\sqrt{60} - 2\sqrt{54}) + (4\sqrt{15} + 6\sqrt{6} - \sqrt{600})$

а) $(\sqrt{28} - 3\sqrt{5}) - (\sqrt{7} + \sqrt{20})$

Для упрощения данного выражения сначала упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(2\sqrt{7} - 3\sqrt{5}) - (\sqrt{7} + 2\sqrt{5})$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:

$2\sqrt{7} - 3\sqrt{5} - \sqrt{7} - 2\sqrt{5}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковыми подкоренными выражениями):

$(2\sqrt{7} - \sqrt{7}) + (-3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) = (2-1)\sqrt{7} + (-3-2)\sqrt{5} = \sqrt{7} - 5\sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{7} - 5\sqrt{5}$

б) $(3\sqrt{32} - 2\sqrt{18}) + (\sqrt{50} - 2\sqrt{8})$

Упростим каждый корень в выражении:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Подставим упрощенные корни в выражение и выполним умножение:

$(3 \cdot 4\sqrt{2} - 2 \cdot 3\sqrt{2}) + (5\sqrt{2} - 2 \cdot 2\sqrt{2}) = (12\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) + (5\sqrt{2} - 4\sqrt{2})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$12\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (12 - 6 + 5 - 4)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

Ответ: $7\sqrt{2}$

в) $(\sqrt{27} - 3\sqrt{45} - \sqrt{20}) - (3\sqrt{12} - 2\sqrt{80})$

Сначала упростим все корни в выражении:

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(3\sqrt{3} - 3 \cdot 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) - (3 \cdot 2\sqrt{3} - 2 \cdot 4\sqrt{5}) = (3\sqrt{3} - 9\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) - (6\sqrt{3} - 8\sqrt{5})$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(3\sqrt{3} - 11\sqrt{5}) - (6\sqrt{3} - 8\sqrt{5})$

Теперь раскроем скобки, изменяя знаки во второй скобке:

$3\sqrt{3} - 11\sqrt{5} - 6\sqrt{3} + 8\sqrt{5}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3\sqrt{3} - 6\sqrt{3}) + (-11\sqrt{5} + 8\sqrt{5}) = (3-6)\sqrt{3} + (-11+8)\sqrt{5} = -3\sqrt{3} - 3\sqrt{5}$

Ответ: $-3\sqrt{3} - 3\sqrt{5}$

г) $(3\sqrt{60} - 2\sqrt{54}) + (4\sqrt{15} + 6\sqrt{6} - \sqrt{600})$

Упростим каждый корень, где это возможно:

$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$

$\sqrt{600} = \sqrt{100 \cdot 6} = 10\sqrt{6}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение и выполним умножение:

$(3 \cdot 2\sqrt{15} - 2 \cdot 3\sqrt{6}) + (4\sqrt{15} + 6\sqrt{6} - 10\sqrt{6}) = (6\sqrt{15} - 6\sqrt{6}) + (4\sqrt{15} + 6\sqrt{6} - 10\sqrt{6})$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых не меняются:

$6\sqrt{15} - 6\sqrt{6} + 4\sqrt{15} + 6\sqrt{6} - 10\sqrt{6}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6\sqrt{15} + 4\sqrt{15}) + (-6\sqrt{6} + 6\sqrt{6} - 10\sqrt{6}) = (6+4)\sqrt{15} + (-6+6-10)\sqrt{6} = 10\sqrt{15} - 10\sqrt{6}$

Ответ: $10\sqrt{15} - 10\sqrt{6}$