Страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

344 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных:

а) $0.2ab$ при $a=\sqrt{15}, b=2\sqrt{5}$;

б) $-\frac{1}{3}xy$ при $x=\sqrt{6}, y=\sqrt{3}$;

в) $\frac{a^2}{4}$ при $a=\frac{\sqrt{2}}{3}$;

г) $-\frac{3x^2}{2}$ при $x=2\sqrt{3}$;

д) $0.5x^3$ при $x=3\sqrt{2}$;

е) $8y^3$ при $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) Подставим значения $a = \sqrt{15}$ и $b = 2\sqrt{5}$ в выражение $0,2ab$ и выполним вычисления:
$0,2ab = 0,2 \cdot \sqrt{15} \cdot 2\sqrt{5} = 0,2 \cdot 2 \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{5} = 0,4 \cdot \sqrt{15 \cdot 5} = 0,4 \cdot \sqrt{75}$.
Разложим число под корнем на множители, чтобы выделить полный квадрат: $75 = 25 \cdot 3$.
$0,4 \cdot \sqrt{25 \cdot 3} = 0,4 \cdot (\sqrt{25} \cdot \sqrt{3}) = 0,4 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

б) Подставим значения $x = \sqrt{6}$ и $y = \sqrt{3}$ в выражение $-\frac{1}{3}xy$ и выполним вычисления:
$-\frac{1}{3}xy = -\frac{1}{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = -\frac{1}{3} \cdot \sqrt{6 \cdot 3} = -\frac{1}{3} \cdot \sqrt{18}$.
Разложим число под корнем на множители: $18 = 9 \cdot 2$.
$-\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 \cdot 2} = -\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{9} \cdot \sqrt{2}) = -\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = -1 \cdot \sqrt{2} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}$.

в) Подставим значение $a = \frac{\sqrt{2}}{3}$ в выражение $\frac{a^2}{4}$ и выполним вычисления:
$\frac{a^2}{4} = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{3})^2}{4} = \frac{\frac{(\sqrt{2})^2}{3^2}}{4} = \frac{\frac{2}{9}}{4}$.
Чтобы разделить дробь на число, нужно знаменатель дроби умножить на это число:
$\frac{2}{9 \cdot 4} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
Ответ: $\frac{1}{18}$.

г) Подставим значение $x = 2\sqrt{3}$ в выражение $-\frac{3x^2}{2}$ и выполним вычисления:
$-\frac{3x^2}{2} = -\frac{3 \cdot (2\sqrt{3})^2}{2} = -\frac{3 \cdot (2^2 \cdot (\sqrt{3})^2)}{2} = -\frac{3 \cdot (4 \cdot 3)}{2} = -\frac{3 \cdot 12}{2}$.
Выполним умножение и деление:
$-\frac{36}{2} = -18$.
Ответ: $-18$.

д) Подставим значение $x = 3\sqrt{2}$ в выражение $0,5x^3$. Удобнее представить $0,5$ как $\frac{1}{2}$.
$0,5x^3 = \frac{1}{2} \cdot (3\sqrt{2})^3 = \frac{1}{2} \cdot (3^3 \cdot (\sqrt{2})^3) = \frac{1}{2} \cdot (27 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}))$.
Так как $(\sqrt{2})^2 = 2$, то $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$.
$\frac{1}{2} \cdot (27 \cdot 2\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 54\sqrt{2} = 27\sqrt{2}$.
Ответ: $27\sqrt{2}$.

е) Подставим значение $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ в выражение $8y^3$ и выполним вычисления:
$8y^3 = 8 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})^3 = 8 \cdot ((-1)^3 \cdot \frac{(\sqrt{2})^3}{2^3}) = 8 \cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{8})$.
Сократим множитель 8:
$8 \cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{8}) = -2\sqrt{2}$.
Ответ: $-2\sqrt{2}$.

345 Сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt{4x}}{4}$;

б) $\frac{\sqrt{8a}}{6}$;

в) $\frac{27}{\sqrt{81m}}$;

г) $\frac{20}{\sqrt{50y}}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{4x}}{4}$, сначала упростим числитель, вынеся множитель из-под знака корня.

$\sqrt{4x} = \sqrt{4 \cdot x} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = 2\sqrt{x}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{\sqrt{4x}}{4} = \frac{2\sqrt{x}}{4}$.

Сократим числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{2\sqrt{x}}{4} = \frac{\sqrt{x}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{x}}{2}$.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{8a}}{6}$. Упростим числитель, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого представим число 8 как произведение $4 \cdot 2$.

$\sqrt{8a} = \sqrt{4 \cdot 2a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2a} = 2\sqrt{2a}$.

Подставим упрощенное выражение в исходную дробь:

$\frac{2\sqrt{2a}}{6}$.

Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2\sqrt{2a}}{6} = \frac{\sqrt{2a}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2a}}{3}$.

в)

Для сокращения дроби $\frac{27}{\sqrt{81m}}$ упростим выражение в знаменателе.

Извлечем корень из множителей подкоренного выражения:

$\sqrt{81m} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{m} = 9\sqrt{m}$.

Подставим результат в знаменатель дроби:

$\frac{27}{9\sqrt{m}}$.

Сократим числитель и знаменатель на 9:

$\frac{27}{9\sqrt{m}} = \frac{3}{\sqrt{m}}$.

Для завершения упрощения избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{m}$:

$\frac{3}{\sqrt{m}} = \frac{3 \cdot \sqrt{m}}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}} = \frac{3\sqrt{m}}{m}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{m}}{m}$.

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{20}{\sqrt{50y}}$, начнем с упрощения знаменателя.

Вынесем множитель из-под знака корня, представив 50 как $25 \cdot 2$:

$\sqrt{50y} = \sqrt{25 \cdot 2y} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2y} = 5\sqrt{2y}$.

Подставим упрощенный знаменатель в дробь:

$\frac{20}{5\sqrt{2y}}$.

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{20}{5\sqrt{2y}} = \frac{4}{\sqrt{2y}}$.

Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2y}$:

$\frac{4}{\sqrt{2y}} = \frac{4 \cdot \sqrt{2y}}{\sqrt{2y} \cdot \sqrt{2y}} = \frac{4\sqrt{2y}}{2y}$.

Наконец, сократим последнюю дробь на 2:

$\frac{4\sqrt{2y}}{2y} = \frac{2\sqrt{2y}}{y}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2y}}{y}$.

Найдите значение выражения (346—347).

346 а) $\sqrt{2,5 \cdot 10^5}$;

б) $\sqrt{1,6 \cdot 10^7}$;

в) $\sqrt{4,9 \cdot 10^{-3}}$;

г) $\sqrt{8,1 \cdot 10^{-5}}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{2,5 \cdot 10^5}$ преобразуем подкоренное выражение так, чтобы степень числа 10 была четной. Для этого представим $2,5$ как $25 \cdot 10^{-1}$.

$\sqrt{2,5 \cdot 10^5} = \sqrt{(25 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^5} = \sqrt{25 \cdot 10^{-1+5}} = \sqrt{25 \cdot 10^4}$.

Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$\sqrt{25 \cdot 10^4} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{10^4} = 5 \cdot 10^2 = 5 \cdot 100 = 500$.

Ответ: $500$.

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt{1,6 \cdot 10^7}$ преобразуем подкоренное выражение, чтобы получить четную степень у числа 10. Представим $1,6$ как $16 \cdot 10^{-1}$.

$\sqrt{1,6 \cdot 10^7} = \sqrt{(16 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^7} = \sqrt{16 \cdot 10^{-1+7}} = \sqrt{16 \cdot 10^6}$.

Применяем свойство корня из произведения:

$\sqrt{16 \cdot 10^6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10^6} = 4 \cdot 10^3 = 4 \cdot 1000 = 4000$.

Ответ: $4000$.

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt{4,9 \cdot 10^{-3}}$ преобразуем подкоренное выражение для получения четной степени. Умножим и разделим подкоренное выражение на 10, что эквивалентно представлению $4,9$ как $49 \cdot 10^{-1}$ и последующему умножению на $10^{-3}$.

$\sqrt{4,9 \cdot 10^{-3}} = \sqrt{(49 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-3}} = \sqrt{49 \cdot 10^{-1-3}} = \sqrt{49 \cdot 10^{-4}}$.

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{49 \cdot 10^{-4}} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{10^{-4}} = 7 \cdot 10^{-2} = 7 \cdot 0,01 = 0,07$.

Ответ: $0,07$.

г) Для вычисления значения выражения $\sqrt{8,1 \cdot 10^{-5}}$ преобразуем подкоренное выражение, чтобы степень 10 стала четной. Представим $8,1$ как $81 \cdot 10^{-1}$.

$\sqrt{8,1 \cdot 10^{-5}} = \sqrt{(81 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-5}} = \sqrt{81 \cdot 10^{-1-5}} = \sqrt{81 \cdot 10^{-6}}$.

Применяем свойство корня из произведения:

$\sqrt{81 \cdot 10^{-6}} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{10^{-6}} = 9 \cdot 10^{-3} = 9 \cdot 0,001 = 0,009$.

Ответ: $0,009$.

347 a) $\sqrt{30 \cdot 66 \cdot 220}$;

б) $\sqrt{54 \cdot 48 \cdot 50}$;

В) $\sqrt{3^3 \cdot 12^5}$.

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{30 \cdot 66 \cdot 220}$ разложим подкоренные числа на простые множители, чтобы найти полные квадраты.

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

$66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$

$220 = 22 \cdot 10 = (2 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5 \cdot 11$

Теперь подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt{30 \cdot 66 \cdot 220} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 11) \cdot (2^2 \cdot 5 \cdot 11)}$

Сгруппируем одинаковые множители:

$\sqrt{(2 \cdot 2 \cdot 2^2) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5) \cdot (11 \cdot 11)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11^2}$

Используем свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и $\sqrt{x^{2n}} = x^n$:

$\sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{11^2} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 11^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$

Вычислим произведение:

$4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 12 \cdot 5 \cdot 11 = 60 \cdot 11 = 660$

Ответ: 660

б)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{54 \cdot 48 \cdot 50}$ разложим подкоренные числа на простые множители.

$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$

$48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$

$50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt{54 \cdot 48 \cdot 50} = \sqrt{(2 \cdot 3^3) \cdot (2^4 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5^2)}$

Сгруппируем одинаковые множители:

$\sqrt{(2 \cdot 2^4 \cdot 2) \cdot (3^3 \cdot 3) \cdot 5^2} = \sqrt{2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^2}$

Извлечем корень из произведения:

$\sqrt{2^6} \cdot \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5$

Вычислим произведение:

$8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$

Ответ: 360

в)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{3^3 \cdot 12^5}$ представим число 12 в виде произведения простых множителей, чтобы упростить подкоренное выражение.

$12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$

Тогда $12^5 = (3 \cdot 2^2)^5 = 3^5 \cdot (2^2)^5 = 3^5 \cdot 2^{10}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{3^3 \cdot 12^5} = \sqrt{3^3 \cdot (3^5 \cdot 2^{10})}$

Сгруппируем множители с одинаковым основанием:

$\sqrt{(3^3 \cdot 3^5) \cdot 2^{10}} = \sqrt{3^{3+5} \cdot 2^{10}} = \sqrt{3^8 \cdot 2^{10}}$

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{3^8} \cdot \sqrt{2^{10}} = 3^{8/2} \cdot 2^{10/2} = 3^4 \cdot 2^5$

Вычислим степени и их произведение:

$3^4 = 81$

$2^5 = 32$

$81 \cdot 32 = 2592$

Ответ: 2592

348 Упростите выражение:

а) $4\sqrt{5} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50}$;

б) $3\sqrt{27} \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{75}$;

в) $2\sqrt{15} \cdot 3\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{30}$;

г) $5\sqrt{18} \cdot 4\sqrt{40} \cdot 2\sqrt{35}$.

а) $4\sqrt{5} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50}$

Для упрощения выражения сначала упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня, где это возможно.

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{2}$

Сгруппируем коэффициенты и корни, а затем выполним умножение. Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.

$(4 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}) = 60 \cdot (5 \cdot \sqrt{2}) = 300\sqrt{2}$

Ответ: $300\sqrt{2}$

б) $3\sqrt{27} \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{75}$

Упростим каждый корень, вынося множитель из-под знака корня.

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

Подставим упрощенные выражения обратно в произведение:

$3 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) \cdot (5\sqrt{3})$

Перемножим коэффициенты и корни:

$(3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 180 \cdot (3\sqrt{3}) = 540\sqrt{3}$

Ответ: $540\sqrt{3}$

в) $2\sqrt{15} \cdot 3\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{30}$

Сначала перемножим коэффициенты перед корнями, а затем объединим подкоренные выражения под одним корнем, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

$(2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot \sqrt{15 \cdot 6 \cdot 30} = 24 \cdot \sqrt{2700}$

Разложим подкоренное выражение на множители для поиска полных квадратов. Заметим, что $2700 = 900 \cdot 3$.

$24 \cdot \sqrt{900 \cdot 3} = 24 \cdot \sqrt{900} \cdot \sqrt{3} = 24 \cdot 30 \cdot \sqrt{3}$

Выполним умножение:

$24 \cdot 30\sqrt{3} = 720\sqrt{3}$

Альтернативный способ: разложим подкоренные выражения на простые множители:

$24 \cdot \sqrt{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5)} = 24 \cdot \sqrt{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2} = 24 \cdot \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 3}$

Вынесем множители из-под знака корня:

$24 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{3}) = 24 \cdot 30\sqrt{3} = 720\sqrt{3}$

Ответ: $720\sqrt{3}$

г) $5\sqrt{18} \cdot 4\sqrt{40} \cdot 2\sqrt{35}$

Упростим каждый сомножитель, вынеся множитель из-под знака корня.

$5\sqrt{18} = 5\sqrt{9 \cdot 2} = 5 \cdot 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$

$4\sqrt{40} = 4\sqrt{4 \cdot 10} = 4 \cdot 2\sqrt{10} = 8\sqrt{10}$

Корень $\sqrt{35}$ упростить нельзя, так как $35 = 5 \cdot 7$.

Подставим упрощенные выражения в произведение:

$15\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{35}$

Теперь перемножим коэффициенты и подкоренные выражения отдельно:

$(15 \cdot 8 \cdot 2) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{35}) = 240 \cdot \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 35}$

Разложим число под корнем на простые множители:

$2 \cdot 10 \cdot 35 = 2 \cdot (2 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 7) = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$

Извлечем корень:

$\sqrt{2^2 \cdot 5^2 \cdot 7} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{7} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{7} = 10\sqrt{7}$

Окончательно получаем:

$240 \cdot 10\sqrt{7} = 2400\sqrt{7}$

Ответ: $2400\sqrt{7}$

349 Упростите выражение:

а) $(2a\sqrt{3a})^2$;

б) $(5b\sqrt{6b})^2$;

в) $2x \cdot (\sqrt{8x})^2$;

г) $(y\sqrt{2y})^3$;

д) $3m(\sqrt{2m})^3$;

е) $\frac{(\sqrt{6n})^3}{(\sqrt{2n})^2}$.

а) Чтобы упростить выражение $(2a\sqrt{3a})^2$, воспользуемся свойством степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$. Также применим свойство $(\sqrt{x})^2 = x$ для $x \ge 0$.
$(2a\sqrt{3a})^2 = (2)^2 \cdot a^2 \cdot (\sqrt{3a})^2 = 4 \cdot a^2 \cdot 3a$.
Перемножим числовые коэффициенты и степени переменной $a$:
$4 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot a = 12 \cdot a^{2+1} = 12a^3$.
Данное преобразование верно при условии, что подкоренное выражение неотрицательно: $3a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
Ответ: $12a^3$.

б) Упростим выражение $(5b\sqrt{6b})^2$. Используем те же свойства, что и в предыдущем пункте.
$(5b\sqrt{6b})^2 = 5^2 \cdot b^2 \cdot (\sqrt{6b})^2 = 25 \cdot b^2 \cdot 6b$.
Выполним умножение:
$25 \cdot 6 \cdot b^2 \cdot b = 150 \cdot b^{2+1} = 150b^3$.
Условие для преобразования: $6b \ge 0$, то есть $b \ge 0$.
Ответ: $150b^3$.

в) Упростим выражение $2x \cdot (\sqrt{8x})^2$.
Сначала возведем в квадрат корень: $(\sqrt{8x})^2 = 8x$. Это верно при $8x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.
Теперь умножим результат на $2x$:
$2x \cdot 8x = 16x^2$.
Ответ: $16x^2$.

г) Упростим выражение $(y\sqrt{2y})^3$.
Воспользуемся свойством степени произведения: $(y\sqrt{2y})^3 = y^3 \cdot (\sqrt{2y})^3$.
Распишем $(\sqrt{2y})^3$:
$(\sqrt{2y})^3 = \sqrt{2y} \cdot \sqrt{2y} \cdot \sqrt{2y} = (\sqrt{2y})^2 \cdot \sqrt{2y} = 2y\sqrt{2y}$.
Подставим это в исходное выражение:
$y^3 \cdot (2y\sqrt{2y}) = 2 \cdot y^3 \cdot y \cdot \sqrt{2y} = 2 \cdot y^{3+1} \cdot \sqrt{2y} = 2y^4\sqrt{2y}$.
Условие для преобразования: $2y \ge 0$, то есть $y \ge 0$.
Ответ: $2y^4\sqrt{2y}$.

д) Упростим выражение $3m(\sqrt{2m})^3$.
Сначала упростим $(\sqrt{2m})^3$:
$(\sqrt{2m})^3 = (\sqrt{2m})^2 \cdot \sqrt{2m} = 2m\sqrt{2m}$.
Теперь умножим результат на $3m$:
$3m \cdot (2m\sqrt{2m}) = (3 \cdot 2) \cdot (m \cdot m) \cdot \sqrt{2m} = 6m^2\sqrt{2m}$.
Условие для преобразования: $2m \ge 0$, то есть $m \ge 0$.
Ответ: $6m^2\sqrt{2m}$.

е) Упростим выражение $\frac{(\sqrt{6n})^3}{(\sqrt{2n})^2}$.
Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: $(\sqrt{6n})^3 = (\sqrt{6n})^2 \cdot \sqrt{6n} = 6n\sqrt{6n}$.
Знаменатель: $(\sqrt{2n})^2 = 2n$.
Теперь выполним деление:
$\frac{6n\sqrt{6n}}{2n}$.
Сократим дробь на $2n$. При этом $2n \neq 0$, следовательно $n \neq 0$. Также из определения корня $6n \ge 0$ и $2n \ge 0$, что означает $n \ge 0$. Объединяя условия, получаем $n > 0$.
$\frac{6n}{2n} \cdot \sqrt{6n} = 3\sqrt{6n}$.
Ответ: $3\sqrt{6n}$.

350 РАССУЖДАЕМ Расположите в порядке возрастания:

а) $ \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2\sqrt{2}} $;

б) $ \frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{1}{4} $;

в) $ \sqrt{\frac{3}{5}}, 2\sqrt{0.2}, 1 $;

г) $ 0.5, \frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{4} $.

а) Чтобы расположить дроби $ \frac{1}{\sqrt{10}} $, $ \frac{1}{3} $, $ \frac{1}{2\sqrt{2}} $ в порядке возрастания, нужно сравнить их знаменатели. Для дробей с одинаковым числителем (в данном случае 1) действует правило: чем больше знаменатель, тем меньше дробь. Сравним знаменатели: $ \sqrt{10} $, $ 3 $ и $ 2\sqrt{2} $. Для удобства сравнения возведем все три числа в квадрат, так как они положительны и порядок неравенства при этом сохранится.
$ (\sqrt{10})^2 = 10 $
$ 3^2 = 9 $
$ (2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 $
Сравнивая полученные квадраты, имеем: $ 8 < 9 < 10 $.
Это означает, что и сами знаменатели находятся в том же соотношении: $ 2\sqrt{2} < 3 < \sqrt{10} $.
Так как для дробей с одинаковым числителем порядок обратный порядку их знаменателей, получаем: $ \frac{1}{\sqrt{10}} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2\sqrt{2}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2\sqrt{2}} $.

б) Чтобы расположить дроби $ \frac{1}{3\sqrt{2}} $, $ \frac{1}{\sqrt{17}} $, $ \frac{1}{4} $ в порядке возрастания, сравним их знаменатели: $ 3\sqrt{2} $, $ \sqrt{17} $ и $ 4 $. Возведем их в квадрат:
$ (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 $
$ (\sqrt{17})^2 = 17 $
$ 4^2 = 16 $
Сравнивая квадраты, получаем: $ 16 < 17 < 18 $.
Следовательно, знаменатели в порядке возрастания располагаются так: $ 4 < \sqrt{17} < 3\sqrt{2} $.
Поскольку порядок дробей с числителем 1 обратен порядку их знаменателей, имеем: $ \frac{1}{3\sqrt{2}} < \frac{1}{\sqrt{17}} < \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{1}{4} $.

в) Сравним числа $ \sqrt{\frac{3}{5}} $, $ 2\sqrt{0.2} $, $ 1 $. Для сравнения приведем все числа к виду $ \sqrt{a} $.
$ \sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{0.6} $
$ 2\sqrt{0.2} = \sqrt{2^2 \cdot 0.2} = \sqrt{4 \cdot 0.2} = \sqrt{0.8} $
$ 1 = \sqrt{1^2} = \sqrt{1} $
Теперь сравним подкоренные выражения: $ 0.6 $, $ 0.8 $ и $ 1 $.
Очевидно, что $ 0.6 < 0.8 < 1 $.
Поскольку функция квадратного корня является возрастающей для положительных чисел, то и сами числа будут находиться в том же соотношении: $ \sqrt{0.6} < \sqrt{0.8} < \sqrt{1} $.
Следовательно, $ \sqrt{\frac{3}{5}} < 2\sqrt{0.2} < 1 $.
Ответ: $ \sqrt{\frac{3}{5}}, 2\sqrt{0.2}, 1 $.

г) Сравним числа $ 0.5 $, $ \frac{\sqrt{2}}{3} $, $ \frac{\sqrt{3}}{4} $. Так как все числа положительные, мы можем сравнить их квадраты. Порядок неравенства при этом не изменится.
$ (0.5)^2 = 0.25 = \frac{1}{4} $
$ \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{3^2} = \frac{2}{9} $
$ \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{4^2} = \frac{3}{16} $
Теперь сравним полученные дроби: $ \frac{1}{4} $, $ \frac{2}{9} $ и $ \frac{3}{16} $. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4, 9 и 16 равен 144.
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 36}{4 \cdot 36} = \frac{36}{144} $
$ \frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 16}{9 \cdot 16} = \frac{32}{144} $
$ \frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 9}{16 \cdot 9} = \frac{27}{144} $
Сравнивая числители полученных дробей, получаем: $ 27 < 32 < 36 $.
Значит, $ \frac{27}{144} < \frac{32}{144} < \frac{36}{144} $, что соответствует $ \frac{3}{16} < \frac{2}{9} < \frac{1}{4} $.
Поскольку мы сравнивали квадраты положительных чисел, исходные числа располагаются в том же порядке: $ \frac{\sqrt{3}}{4} < \frac{\sqrt{2}}{3} < 0.5 $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{3}, 0.5 $.

351 На координатной плоскости даны точки $A (15; 3\sqrt{5})$, $B (3\sqrt{5}; 15)$, $C (12; 2\sqrt{3})$, $D (2\sqrt{3}; 12)$. Какая из этих точек принадлежит графику зависимости $y = \sqrt{x}$?

Чтобы определить, какая из данных точек принадлежит графику функции $y = \sqrt{x}$, необходимо подставить координаты $x$ и $y$ каждой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

A(15; 3√5)

Подставим координаты $x = 15$ и $y = 3\sqrt{5}$ в уравнение $y = \sqrt{x}$:

$3\sqrt{5} = \sqrt{15}$

Чтобы проверить равенство, возведем обе его части в квадрат. Так как ордината $y=3\sqrt{5}$ положительна, такое преобразование является равносильным.

Левая часть: $(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

Правая часть: $(\sqrt{15})^2 = 15$.

Поскольку $45 \neq 15$, равенство неверно. Значит, точка A не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

B(3√5; 15)

Подставим координаты $x = 3\sqrt{5}$ и $y = 15$ в уравнение $y = \sqrt{x}$:

$15 = \sqrt{3\sqrt{5}}$

Возведем обе части в квадрат:

Левая часть: $15^2 = 225$.

Правая часть: $(\sqrt{3\sqrt{5}})^2 = 3\sqrt{5}$.

Поскольку $225 \neq 3\sqrt{5}$, равенство неверно. Значит, точка B не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

C(12; 2√3)

Подставим координаты $x = 12$ и $y = 2\sqrt{3}$ в уравнение $y = \sqrt{x}$:

$2\sqrt{3} = \sqrt{12}$

Проверим верность этого равенства. Можно пойти двумя путями.

1. Возвести обе части в квадрат:

Левая часть: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Правая часть: $(\sqrt{12})^2 = 12$.

Поскольку $12 = 12$, равенство верно.

2. Упростить корень в правой части:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Равенство принимает вид $2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$, что очевидно верно. Значит, точка C принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

D(2√3; 12)

Подставим координаты $x = 2\sqrt{3}$ и $y = 12$ в уравнение $y = \sqrt{x}$:

$12 = \sqrt{2\sqrt{3}}$

Возведем обе части в квадрат:

Левая часть: $12^2 = 144$.

Правая часть: $(\sqrt{2\sqrt{3}})^2 = 2\sqrt{3}$.

Поскольку $144 \neq 2\sqrt{3}$, равенство неверно. Значит, точка D не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

Таким образом, из всех перечисленных точек графику зависимости $y = \sqrt{x}$ принадлежит только точка C(12; 2√3).