Номер 348, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 348, страница 97.

Условие.

348 Упростите выражение:

а) $4\sqrt{5} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50}$;

б) $3\sqrt{27} \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{75}$;

в) $2\sqrt{15} \cdot 3\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{30}$;

г) $5\sqrt{18} \cdot 4\sqrt{40} \cdot 2\sqrt{35}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $4\sqrt{5} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50}$

Для упрощения выражения сначала упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня, где это возможно.

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{2}$

Сгруппируем коэффициенты и корни, а затем выполним умножение. Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.

$(4 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}) = 60 \cdot (5 \cdot \sqrt{2}) = 300\sqrt{2}$

Ответ: $300\sqrt{2}$

б) $3\sqrt{27} \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{75}$

Упростим каждый корень, вынося множитель из-под знака корня.

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

Подставим упрощенные выражения обратно в произведение:

$3 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) \cdot (5\sqrt{3})$

Перемножим коэффициенты и корни:

$(3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 180 \cdot (3\sqrt{3}) = 540\sqrt{3}$

Ответ: $540\sqrt{3}$

в) $2\sqrt{15} \cdot 3\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{30}$

Сначала перемножим коэффициенты перед корнями, а затем объединим подкоренные выражения под одним корнем, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

$(2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot \sqrt{15 \cdot 6 \cdot 30} = 24 \cdot \sqrt{2700}$

Разложим подкоренное выражение на множители для поиска полных квадратов. Заметим, что $2700 = 900 \cdot 3$.

$24 \cdot \sqrt{900 \cdot 3} = 24 \cdot \sqrt{900} \cdot \sqrt{3} = 24 \cdot 30 \cdot \sqrt{3}$

Выполним умножение:

$24 \cdot 30\sqrt{3} = 720\sqrt{3}$

Альтернативный способ: разложим подкоренные выражения на простые множители:

$24 \cdot \sqrt{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5)} = 24 \cdot \sqrt{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2} = 24 \cdot \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 3}$

Вынесем множители из-под знака корня:

$24 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{3}) = 24 \cdot 30\sqrt{3} = 720\sqrt{3}$

Ответ: $720\sqrt{3}$

г) $5\sqrt{18} \cdot 4\sqrt{40} \cdot 2\sqrt{35}$

Упростим каждый сомножитель, вынеся множитель из-под знака корня.

$5\sqrt{18} = 5\sqrt{9 \cdot 2} = 5 \cdot 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$

$4\sqrt{40} = 4\sqrt{4 \cdot 10} = 4 \cdot 2\sqrt{10} = 8\sqrt{10}$

Корень $\sqrt{35}$ упростить нельзя, так как $35 = 5 \cdot 7$.

Подставим упрощенные выражения в произведение:

$15\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{35}$

Теперь перемножим коэффициенты и подкоренные выражения отдельно:

$(15 \cdot 8 \cdot 2) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{35}) = 240 \cdot \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 35}$

Разложим число под корнем на простые множители:

$2 \cdot 10 \cdot 35 = 2 \cdot (2 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 7) = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$

Извлечем корень:

$\sqrt{2^2 \cdot 5^2 \cdot 7} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{7} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{7} = 10\sqrt{7}$

Окончательно получаем:

$240 \cdot 10\sqrt{7} = 2400\sqrt{7}$

Ответ: $2400\sqrt{7}$